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SOLUTIONS DES EXERCICES
sin 2t est 7r-périodique, on a
5,..
57r
511"
h 4 sin 2 tdt=i= h 4 cos 2 tdt et h
4 sintcostdt=O.
4
4
4
Puisque sin 3 t =sin t(l - cos 2 t), le changement de variable u =cos t permet de
calculer
5,..
1
tri
5,..
1
- tri
4
.
v'2
5y 2
4
.
v'2
y 2
h sm 3 t dt= j__J_ (1-u 2 ) du= - 6 - et h smtcos 2 t dt= j__J_ u 2 du= 6 .
4
v'2
4
v'2
De même, avec le changement de variable v = sin t
h
5
;
3
1.}a 2
5v'2
,..
COS t dt= -
1 (1 - V ) dv = - -
-
-6
4
v'2
5,..
_J_
v'2
et
~ 4 sin 2 tcostdt=-j~ v 2 dv=--·
-6
4
v'2
Pour finir, on a sin 4 t = à(cos4t - 4cos2t + 3) et sin 2 tcos 2 t = à(l - cos4t)
(formules de linéarisation, qu'on peut retrouver avec les formules d'Euler); avec la
même remarque concernant la 7r-périodicité des primitives de cos 4t et de cos 2t,
on trouve facilement
511"
f 4 sin 4 t dt = 3 1!" et
}:!!
8
4
On obtient donc
11"
11"
31!" 311"
12=-18+100 + 30- - 32- - 0 + 30 + 8 - 12 -10 + - - - = 98 -1!"
2
2
2
2
.
À peu près les mêmes calculs permettent d'obtenir
(les intégrales des termes en puissance impaire de sin et cos changent de signe et
ceux en puissance paire gardent la même valeur)
4. On constate qu'on a bien /3 - h = 211", ce qui est l'aire d'un disque de rayon
J2.
Essayons d'expliquer ce phénomène : Tout d'abord, la différence /3 - 12 est égale
à l'intégrale curviligne du champ de vecteurs sur le contour complet du cercle
décrit dans le sens trigonométrique. Si ce champ de vecteurs était un champ de
gradients, cela simplifierait bien les choses. A-t-on ~: = ~~? Calculons
ôP
2
- =3y -6x
ôy
et
ôQ
2
ôx = 3y - 6x + 1.