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SOLUTIONS DES EXERCICES
Si on avait choisi l'autre paramétrisation, les calculs auraient été :
li= fo\ ((2t + 2) 3 - 6(2t + 1)(2t + 2))2
+ (3(2t + 1)(2t + 2) 2 - 3(2t + 1) 2 + (2t + 1) + 2(2t + 2))2) dt
= 2 fo
1 (8t 3 + 24t 2 + 24t + 8 - 24t 2 - 36t - 12
+ 24t 3 + 60t 2 +48t+12 - 12t 2 - 12t - 3 + 2t + 1+4t + 4) dt
= 2 fo
1 (t 3 (8 + 24) + t 2 (24 - 24 + 60 - 12)
+ t (24 - 36 + 48 - 12 + 2 + 4) + (8 - 12 + 12 - 3 + 1+4)) dt
= 2 fo
1 (32t 3 +48t 2 +30t+10) dt= 2[8t 4 +16t 3 +15t 2 +10t]~
= 2(8 + 16 + 15 + 10)
li= 98.
Bien entendu, on trouve le même résultat.
2. et 3. On doit paramétrer les deux demi-cercles AB ; une paramétrisation classique
qui fonctionne toujours d'un cercle de centre n, de rayon Rest {x((tt)) = xn + RRc?stt
y =yn+ sm
pour t E [O, 27r]. Ce cercle est alors décrit dans le sens trigonométrique à partir du
point le plus à 1'« est», (le plus à droite).
Ici, pour î'3 (en respectant le choix suggéré par la figure), on doit décrire le cercle
de centre 0(2, 3), de rayon R = J2 dans le sens trigonométrique depuis le point
«sud-ouest» vers le point «nord-est», c'est-à-dire depuis le point correspondant à
tous les paramètres 5 I + k27r vers le point correspondant aux paramètres Î + k21f.
Pour respecter le sens de parcours, on fera donc croître le paramètre t de - 3 I
jusqu'à Î et une paramétrisation de î'3 est
{
x(t) = 2 + J2cost
y(t) = 3 + v'2sint
pour t E [- 3 I, Î]
Pour )'2, c'est à peine plus délicat, puisque le sens de parcours est le sens contraire
au sens trigonométrique. Il y a deux manières de s'en sortir : la première consiste
à poser u = -t dans une paramétrisation habituelle : lorsque u croît, t décroît,
donc le sens de parcours est inversé; on obtient ici
{
x(u) = 2 + J2cosu
y(u) = 3- v'2sinu
pour u E [- 5 I, -î]
(ne pas oublier que cos(-u) = cosu alors que sin(-u) = -sinu); un inconvénient
de cette méthode est que les calculs de l'intégrale sur î'3 sont plus difficiles à