4. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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Exercice 4.5. 1. On doit donner une paramétrisation de î'l ·
U
, · ·
·
h
{x(t) = (1 - t)xA + txB
ne parametnsat10n qm marc e pour tout segment est
(t) _ (l
)
Y -
-t YA +tyB
pour t E [O, 1].
.
{x(t) = 1(1 - t) + 3t = 1 + 2t
Ici cela donne y(t) = 2 ( 1 _ t) + 4 t = 2 + 2 t pour t E [O, 1].
On peut préférer d'autres paramétrisations liées à une équation cartésienne de la
droite (AB) : puisque cette droite a visiblement comme équation y= x + 1, et
que x varie entre 1 et 3, on peut paramétrer ainsi : { y(:?2 71 1 pour t E [1, 3].
On sait que le résultat ne dépend pas de la paramétrisation que l'on choisit pour
î'l · On choisira donc celle qui semble la plus simple, ici la dernière a l'air à peine
plus simple que l'autre.
On obtient
li= 1 V(M) · dM = {
3 (P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)) dt
'YI
11
= 1
3
( ((t + 1) 3 - 6t(t + 1))1+(3t(t+1) 2 - 3t 2 + t + 2(t + 1))1) dt
= 1
3 (t 3 (1+3) + t2(3 - 6 + 6 - 3) + t(3 - 6+3+1+2) + (1+2)) dt
~ J.'(4t' + 3t+3) dt~ [t• + 3 ~ 2 +3{ ~(si+ 2 ; +9)- (i+ ~ +3)
li= 98.