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SOLUTIONS DES EXERCICES
1
~ -:-:--t
1 157r / 4
V · dM = -(-15.J2 sint -90costsint-18sin 2 t- 54.J2 sin 2 tcost
'Y
8 7r/4
+ 36.J2 cos t + 36 cos 2 t + 36 sin t cos t) dt
3157r/4 [
= - -
-5.J2 sin t - 9 sin 2t - 3(1 - cos 2t)
8 7r/4
- 18.J2 sin 2 t cos t + 12.J2 cos t + 6(1+cos2t) J dt
= -- 5.J2 cos t + - cos 2t + 3t + - sin 2t - 6.J2 sin 3 t + 12.J2 sin t
3[
9
9
]h~
8
2
2
7r/4
= -~ [(- 5v'2 + 0 + 157r + ~ + 6v'2 _ 12)2)
8
v'2
4
2 2)2
v'2
- (5v'2 + 0 + 371' + ~ - 6)2 + 12)2)]
v'2
4
2 2)2
v'2
f, -V. Les résultats des trois questions sont différents : c'est normal parce que V n'est
h
d
d .
.
8P
-'- l
8Q
pas un c amp e gra ients, pmsque {)y = x r = {)x ·
Exercice 4.4. Puisque la paramétrisation de -y est {
{
dx = -Rsint dt
on a dy = R cos t dt
donc en remplaçant,
dz =A dt
x = Rcost
y = R sin t t E [O, 27r] ,
z=At
I =!,y dx - z dy + x dz = fo
2
7r (Rsin t(-Rsint) - At Rcost + Rcost A) dt
= fo
2 7r [- ~ 2 (1 - cos 2t) - AR(t cos t) +AR cos t l dt
[
R 2 t
R 2 sin 2t
.
. l 27r
= - 2 + 4 -AR(tsmt + cost) + ARsmt
0
= (-R 2 7r + O - AR(O + 1) + 0) - 0 + 0 - AR(O + 1) + 0)
I =/,y dx - z dy + x dz = -R 2 7r.