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SOLUTIONS DES EXERCICES
Comme P et P sont deux paramétrisations du même arc 1', elles sont équivalentes
par définition.
, , . - . . . . , {x = cost
Exercice 4.2. 1. Une paramétrisation de l'arc de cercle AB est
y= sint
[O, ~].On a donc dx = -sint dt et dy = cost dt, donc
!, W = !, (X + y) dx + (X - y) dy
r12
= lo [(cost + sint)(-sint) + (cost - sint) cost] dt
tE
r1 2
[sin 2t +cos 2t] 7r/ 2 1
= lo (cos2t-sin2t)dt=
2
0
="2(0-1-0-1)=-l.
2. Le segment [AB] est paramétré, de A vers B par { ; : : - t t E [O, 1] avec
dx = -1 dt et dy = 1 dt donc
!, W = !, (X + y) dx + (X - y) dy = Io l [ ( 1 - t + t )( -1) + ( 1 - t - t) 1 j dt
= fo
1 -2t dt= [-t 2 J: = -1.
On trouve le même résultat dans les 2 cas ; on aurait pu le prévoir car w est fermée :
~: = 1 = ~~ ; donc w est exacte ; elle est définie sur JR 2 , qui est clairement
étoilé; une primitive de w est f(x, y) = x; + xy - 'f, c'est facile à vérifier. Donc
une autre méthode de calcul aurait été (pour les deux cas à la fois) :
f ,...._,w = f,...._,df = f(B)- J(A) = J(O, 1)- /(1,0) = -- 2
1 - ! = -1.
}AB
}AB
2
Exercice 4.3. 1. On a A= (-1, 1) et B = (2, 4); une paramétrisation de l'arc
,,.-....,
•
~
{ X = t
dx = 1 dt
AB de la parabole y = x 2 est bien sur : y= t 2 t E [-1, 2] dy = 2 t dt ;
donc