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SOLUTIONS DES EXERCICES
On a
D'où la formule 11
---t
~
------:-+
grad (Jg) = gradf g + f gradg.
2. On pose Û = ( ~) et V = ( ~) (on se place ici aussi en dimension deux, et
ce serait exactement pareil en dimension trois).
On a
grad (Û ·V)= grad (PS + QT) = grad (PS) + grad (QT)
grad (Û ·V)= gradP S + P gradS + gradQ T + Q gradf.
(On a utilisé le résultat du 1. et l'évidente linéarité du gradient).
3. On a
d . (JÛ) = d" (/ p) = fJ(f P) fJ(JQ) = fJfp ffJP fJfQ ffJQ
IV
IV f Q
fJx + fJy
fJx + fJx + fJy + {Jy
div(JÛ) = (gradf) · Û + f div Û
4. On est ici obligé de se placer en dimension trois. On pose Û ~ (i) ; on a'
11 Remarquons qu'avec l'interprétation « forme différentielle », cette formule se traduit :
d(fg) = df g+ f dg