3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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-
ôF
ôF
cos() ôF
H(r,O) = H(x,y) = ôy (x,y) =sin() ôr (r,O) + -r- ô() (r,O)
ôÎi
. ô 2 F
cosOôF
cos() ô 2 F
ôr = smO ôr2 (r,O) - ~ ô() (r,O) + -r-ôrô()(r,O)
ôÎi
ôF
. ô 2 F
sine ôF
cose ô 2 F
ô() =cos() ôr (r,O) +smO ôOôr(r,0)- -r- ô() (r,O) + -r- 802 (r,O).
On utilise à présent que
~F
ffi
~
~()~
ôy 2 (x,y) = ôy (x,y) =sin() ôr (r,O) + -r- ô() (r,O),
et on peut maintenant calculer
a 2 F
. ( . a 2 F
cos e ai'
cos e a 2 i' )
ôy 2 (x,y) = smO smO ôr 2 (r,0)- ~ ô() (r,O) +-r-ôrô()(r,O)
cos() (
ôF
. ô 2 F
sin08F
cos08 2 F
)
+ -r- cosO or (r, 0) + smO aOar (r, 0) - -r- {)() (r, 0) + -r- 802 (r, 0)
-
2= . 20 ô F( O)- 2sinOcosOôF( O) 2sin0cos0 {) F ( O)
sm 8r2 r,
r2
ô() r, +
r
ara() r,
Finalement, on trouve
2
-
2
2cos () 8F ( O) cos () 8 F ( O)
+ r ôr r, + r2 [)()2 r, .
8G
8H
b.F(x, y) = ax (x, y)+ ay (x, y)
-
_ (
2 ()
. 2 O) 8 F ( O) 2 cos() sin() - 2 sin() cos() ôF ( O)
- cos +sm
ôr2 r, +
r 2
ô() r,
- 2 cos () sin () + 2 sin () cos () 8 2 F ( O)
+
r
8r80 r,
2
2 -
2
2 2cos +sin {)F ( O) cos +sin {) F ( ())
+
r
or r, +
r2
[)()2 r,
8 2 F
1 ai'
1 8 2 F
b.F(x,y) = ar2 (r,O) +;or (r,O) + r2 [)()2 (r,0).
On a établi la formule demandée.
Exercice 3.23.
1. Pour alléger l'écriture, nous nous plaçons en dimension deux, mais le raisonnement est exactement le même en dimension trois.