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SOLUTIONS DES EXERCICES
Posons G = ~:. En appliquant la première formule à F, on obtient
oF
oF
sine oF
G(x,y) = ox (x,y) =cos(} or (r,e)- -r- oe (r,e).
Mais si on pose G =Go 'ljJ, on a donc
-
.
oF
sin(} oF
G(r,e) = G(rcose,rsme) = G(x,y) =cos(} or (r,e)- -r- oe (r,e).
On peut appliquer à G la première des formules :
~F
OO
~
~(}~
ox2 (x,y) = ox (x,y) =cos(} or (r,e) - -r- o(J (r,e).
Calculons maintenant les dérivées partielles de G.
oG
o 2 F
0 (sin(} oF
)
or (r, (}) = cos(} or2 (r, (}) - or -r- o(J (r, (})
o 2 F
sin (} o F
sin (} o 2 F
= cos(} or2 (r, (}) + --;:2 o(J (r, (}) - -r- oro(J (r, (})
(On a appliqué la formule de dérivation d'un produit. N'oublions pas que la dérivée
par rapport à r de r i-----+ 1 / r est -1 / r 2 et que sin(} est une constante lorsque c'est
par rapport à r que l'on dérive.)
oG
. oF
o 2 F
cos(} oF
sin(} o 2 F
o(J (r, (}) = - sm (} ox (r, (})+cos(} oeor (r, (}) - -r- o(J (r, (}) - -r- o(J2 (r, e).
o2F
Reportant ces deux expressions dans la formule donnant ox 2 (x, y), on obtient
o 2 F
(
o 2 F
sin(} oF
sin(} o 2 F
)
ox2 (x,y) =cos(} cos(} or2 (r,e) + --;:2 o(J (r,e)- -r-oroe(r,e)
sin(}( . oF
o 2 F
cos(} oF
sin(} o 2 F ~
--r- -sm(J ox (r,e)+cos(J oeor(r,e)--r- o(J (r,e)--r- o(J2 (r,e'l
-
2= 2 o F ( (} 2 cos(} sin(} oF ( (}) _ 2 cos(} sin(} o F ( (})
cos or2 r, +
r2
o(J r,
r
oro(J r,
2
-
2
2sin (} oF ( (}) sin (} o F ( e)
+ r or r, + r2 o(J2 r,
C 1 1
.
d 1 ~ i:
o2 F o (oF) oH
,
a cu ons mamtenant e a meme 1açon oy 2 = oy oy = oy , en ayant pose
H = ~: ; on pose bien sûr H = Ho 'ljJ, et on a donc comme pour G