3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE RP VERS Rn
linéaire). On trouve :
cos cpsin(}
cos cpcos(}
p
sincp
- - -
psin(}
sin cp sin(}
sin cp cos(}
p
coscp
psin (}
cos(}
sin(}
p
0
De J(u)(x,y,z) = J(U)(p,8,cp) · (J(4>)(p,8,cp))- 1 , on tire donc les formules
379
âu
âU
.
âU
cos cp cos (} âU
sin cp
- 8 (x,y,z) = - 8 (p,e,cp)coscpsme+- 8 (p,(},cp)
- â(} (p,(},cp)-. -(}
x
p
cp
p
psm
âu
âU
.
.
âU
sin cp cos (} âU
cos cp
- 8 (x,y,z) = - 8 (p,(},cp)smcpsme + -
8 (p,e,cp)
+ â(} (p,e,cp)-. -(}
y
p
cp
p
psm
âu
âU
âU
sin(}
- 8 (x,y,z) = - 8 (p,e,cp)cose- - 8 (p,e,cp)-·
z
p
cp
p
On obtient donc (en posant ici P =Po 4>, Q = Q o 4> et R = R o 4>)
. 1 âP
âQ
âR
div( ) = âx (x, y, z) + ây (x, y, z) + âz (x, y, z)
a?
.
a?
cos cp cos e a?
sin cp
= - 8 (p, (}, cp) coscpsm(} + - 8 (p, (}, cp)
- â(} (p, (}, cp)-. -(}
p
cp
p
psm
âQ
.
.
âQ
sin cp cos (} âQ
cos cp
+ -
8 (p,(},cp)smcpsme+- 8 (p,e,cp)
+ â(} (p,(},cp)-. -(}
p
cp
p
psm
âR
âR
sin(}
+ - 8 (p,(},cp)cos{}- - 8 (p,(},cp)-·
p
cp
p
Exercice 3.22.
F étant une fonction de deux variables, on pose logiquement F = F o 1/J, avec
l'application 1/J : (r,e) t--t (x,y) = (rcose,rsine).
Pour calculer l'expression de t:,,,.F en fonction des coordonnées polaires, on a besoin
â
2 F
â (âF)
â
2 F
â (âF)
.
.
de calculer âx 2 = âx âx et ây 2 = ây ây en polaires. On dispose des
formules (vues par exemple à l'exercice 3.20) valables pour toute fonction u, en
posant u = u o 1/J :
âu
âu
sin (} âu
âx (x, y) =cos(} âr (r, (}) - -r- â(} (r, (})
âu
. âu
cose âu
ây (x, y)= sme âr (r, (}) + -r-8(} (r, (})