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SOLUTIONS DES EXERCICES
Or, en utilisant le résultat de la p. 143, on a
c~6
(=6
-rsinO
~) donc (J(V-)c.,o,z)r' = _ '::6
J('lfJ)(r,8,z) = si~O rcosO
0
D'où
( 8u
8x (x, y,z)
8u
8u
)
~ 8 (x,y,z)~ 8 (x,y,z) =
y
z
(cosO
8U
8U
8U
sinO
(ôr(r,6,z) 86 (r,6,z)az(r,6,z))· - ;
D'où les formules
8u
8U
8U
sinO
8 x (x, y, z) = 8 r (r, 0, z) cosO - 80 (r, 0, z)-r8u
8U
.
8U
cosO
8 y(x,y,z) = 8 r (r,O,z)smO+ 80 (r,O,z)-r8u
8U
8z (x, y, z) = 8z (r, 0, z).
Posons P =Po 'ljJ, Q = Q o ' ljJ et R = R o ' l/J.
Appliquant ce qu'on vient d'établir pour u et U, on obtient
. 1 8P
8Q
8R
div( ) = 8 x (x, y, z) + 8 y (x, y, z) + 8 z (x, y, z)
sinO
~)
cosO
r
0
8P
8P
sinO 8Q
.
8Q
cosO 8R
= 8 r (r,8,z) cosO - 80 (r,8,z)_r_ + 8 r (r,8,z) smO + 80 (r,8,z)_r_ + 8 z (r,8,z)·
C'est la formule demandée.
2. La démarche est exactement la même, et avec des notations analogues, on a
besoin d'inverser la matrice jacobienne du changement de variable coordonnées
sphériques
(
cos cp sin 0 p cos cp cos 0 -p sin cp sin 0)
J()(p,8,r.p) = sincpsinO psincpcosO pcoscpsinO
cos 0
-p sin 0
0
Ce calcul de l'inverse d'une matrice 3 x 3 n'est pas évident. On va appliquer la
méthode « transposée de la comatrice sur déterminant » (voir cours d'algèbre