3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE IlP VERS ]Rn
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ââf (x,y) = sine(2rcos3e) +case (-3r 2 sin3e) = r(2sinecos3e- 3cosesin3e)
y
r
= r(2 sine( cos 3 e - 3 cos e sin 2 e) - 3 cos e(3 cos 2 e sine - sin 3 e)
2(r sin e)(r cos e) 3 -6(r sin e) 3 (r cos e)-9(r cos e) 3 (r sin e)+3(r cos e)(r sin e) 3
r3
âf
-7x 3 y - 3xy 3
ây(x,y)= (x2+y2)~;
âg
.
sine 2
.
.
- 8 (x,y) = cose(2rsm3e) - --(3r cos3e) = r(2cosesm3e-3smecos3e)
X
r
= r(2 cos e(3 cos 2 e sine - sin 3 e) - 3 sine( cos 3 e - 3 cos e sin 2 e)
6(r cos e) 3 (r sin e)-2(r cos e)(r sin e) 3 -3(r sin e)(r cos e) 3 +9(r cos e) 3 (r sine)
=
r3
âg ( ) _ 3x 3 y + 7 xy 3 .
-â x,y -
a ,
X
(x2 + y2)2
â âg (x,y) = sine(2rsin3e) +case (3r 2 cos3e) = r(2sinesin3e + 3cosecos3e)
y
r
= r(2 sin e(3 cos 2 e sine - sin 3 e) + 3 cos e( cos 3 e - 3 cos e sin 2 e)
6(rcose) 2 (rsine) 2 - 2(rsine) 4 + 3(rcose) 4 - 9(rcose) 2 (rsine) 2
r3
On a bien, ici aussi, retrouvé les mêmes résultats que par le calcul direct.
3.9 Opérateurs différentiels
Exercice 3.21.
1
. 1 âP
âQ
âR
1. La divergence de
vaut div( ) = âx (x, y, z) + ây (x, y, z) + âz (x, y, z).
Il suffit donc de connaître l'expression des dérivées partielles de P, Q, R en fonction
der, e, z. Comme dans le cours, on appelle ' I/; l'application
(r,e,z) f---t (x,y,z) = (rcose,rsine,z)
Soit u une fonction de ~ 3 vers ~ (ce qu'on fait ici s'appliquera ensuite successivement à P, Q, R). On pose U = u o 'I/;, donc on au= U o 'l/;- 1 .
Pour tout (x,y,z) = 'l/;(r,e,z) = (rcose,rsine,z), on a
J(u)(x,y,z) = J(U)r,9,z) · J('l/;- 1 )(x,y,z) = J(U)(r,9,z) · (J('l/;)(r,9,z))-l ·