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SOLUTIONS DES EXERCICES
(-6xy)y'x 2 + y 2 -
y
(x 3 - 3xy 2 )
âf
y'x2 + y2
-(x y) - ---------'--~--ây ' -
x2 +y2
(-6xy)(x 2 + y 2 ) - y(x 3 - 3xy 2 )
=
3
(x2 + y2)2
Compte tenu de l'analogie entre f et g (x et y ont été échangés et on a changé le
signe), on trouve directement
âg (x, y)= 3x 3 y + 7x;' 3
âx
(x2 + y2)2
âg
3x 4 - 3x 2 y 2 - 2y 3
ây(x,y)=
(x2+y2)~ ·
2.c) Les fonctions F et G définies comme en 2.a) sont respectivement caractérisées
par
r 3 ( cos 3 e - 3 cos e sin 2 0)
2
F(r,O) = f(rcosO,rsinO) =
= r cos30
r
r 3 (3 cos 2 e sine - sin 3 0)
2
G(r,O) = g(rcosO,rsinO) =
= r sin30.
r
On en déduit immédiatement
âF
âr (r, 0) = 2r cos 30
~~ (r, 0) = 2rsin30
~: (r,O) = -3r 2 sin30
âG(
2
âO r, 0) = 3r cos 30.
.
âf âf âg âg
.
Reportant ces valeurs dans les expressions- de âx, ây , âx, ây, on obtient
âf
sine
2 .
.
.
- 8 (x,y) = cos0(2rcos30) - -(-3r sm30) = r(2cos0cos30 + 3sm0sm30)
X
r
= r(2 cos 0( cos 3 e - 3 cos e sin 2 0) + 3 sin 0(3 cos 2 e sine - sin 3 0)
2(rcos0) 4 - 6(rcos0) 2 (rsin0) 2 + 9(rcos0) 2 (rsin0) 2 - 3(rsin0) 4
r3