3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
par
r 2 ( cos 2 () - sin 2 ())
F(r, ()) = f (r cos(), r sin()) =
2
= cos 2()
r
.
r 2 (2cos()sin())
.
G(r,e) = g(rcose,rsm()) =
2
= smW.
r
On en déduit immédiatement
âF
âr (r,e) = o;
âG
âr (r,e) = o;
~: (r, ()) = -2 sin 2();
âG
â() (r, ()) = 2 cos W.
.
âf âf âg âg
.
Reportant ces valeurs dans les expressions de âx, ây, âx, ây, on obtient
âf (x, y) = 0 _ sin() (- 2 sin W) = 4 sin 2 ()cos()
âx
r
r
4(rsin()) 2 (rcos()) _
4y 2 x
.
r4
- (x2 + y2)2 '
â f ( ) _ 0 cos () ( 2 . 2 ()) _ 4 cos 2 () sin ()
- x, y - + - - - sm - -
ây
r
r
4(r cos ()) 2 (r sin())
4y 2 x
r4
(x2 + y2)2
âg (x, y) = 0 _ sin() ( 2 cos W) = _ 2 cos 2 ()sin() - sin 3 ()
&
r
r
2(rsin()) 3 - 2(rcose)2(rsin())
2y 3 - 2x 2 y
r4
(x2 + y2)2
âg (x,y) = 0 +cos() ( 2 cosW) = 2 cos 3 () - cos()sin 2 ()
ây
r
r
2(rcos()) 3 - 2(rsin()) 2 (rcos())
2x 3 - 2y 2 x
r4
(x2 + y2)-2
On a, ici aussi, retrouvé les mêmes résultats que par le calcul direct.
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Cette méthode du passage en polaires a dû vous paraître encore bien trop compliquée. Voyons le dernier exemple.
x 3 - 3xy 2
3x 2 y - y 3
1.c) f(x, y) = Jx2 + y2 ; g(x, y) = Jx2 + y2.
Ici, le calcul direct des dérivées partielles est nettement plus délicat.