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SOLUTIONS DES EXERCICES
8f
2
sin()
3 •
- 8 (x,y) = cosfJ(3r cos3fJ)- -(-3r sm3fJ)
X
T
= 3r 2 ( cos (J cos 3() +sin (J sin 3fJ) = 3r 2 cos(3fJ - fJ) = 3r 2 cos 2fJ
= 3r 2 (cos 2 (J - sin 2 fJ) = 3x 2 - 3y 2 ;
8
8 ! (x,y) = sinfJ(3r 2 cos3fJ) +cos() (-3r 3 sin3fJ)
y
r
= 3r 2 (sin (J cos 3() - cos (J sin 3fJ) = 3r 2 sin( (J - 3fJ) = -3r 2 sin 2fJ
= -3r 2 (2 sin (J cos fJ) = -6xy;
89
2 .
sin (J 3
- 8 (x,y) = cosfJ(3r sm3fJ) - -(3r cos3fJ)
X
T
= 3r 2 ( cos (J sin 3() -sin (J cos 3fJ) = 3r 2 sin(3fJ - fJ) = 3r 2 sin 2fJ
= 3r 2 (2 sin (J cos fJ) = 6xy ;
8
89 (x, y)= sinfJ(3r 2 sin3fJ) + cosfJ (3r 3 cos3fJ)
Y
r
= 3r 2 (sin (J sin 3() + cos (J cos 3fJ) = 3r 2 cos(3fJ - fJ) = 3r 2 cos 2fJ
= 3r 2 ( cos 2 (J - sin 2 fJ) = 3x 2 - 3y 2 .
On a retrouvé (bien difficilement, pour cet exemple), les mêmes valeurs que par le
calcul direct.
Mais cette technique compliquée permet, dans certains cas, une véritable simplification des calculs.
x2 -y2
2xy
l.b) f(x,y) = 2 2 ; 9(x,y) = 2 2
X +y
X +y
Ici, le calcul direct des dérivées partielles est un peu plus compliqué.
8f
2x(x 2 + y 2 ) - 2x(x 2 - y 2 )
4xy 2
8x (x, y) =
(x2 + y2)2
= (x2 + y2)2
8f
4x 2 y
8 y (x, y) = - (x 2 + y 2 ) 2 (par antisymétrie) ;
89 (x y)= 2y(x 2 + y 2 ) - 2x(2xy) = 2y 3 - 2x 2 y
8x '
(x2 + y2)2
(x2 + y2)2
89
2x 3 -y 2 x
8 y (x, y) = - (x 2 + y 2 ) 2 (par symétrie).
2.b) Les fonctions F et G définies comme en 2.a) sont respectivement caractérisées