3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
( af
ax (x,y)
af
)
(aF
aF
) ( cos(}
ay(x,y) = ar(r,O) ao(r,O). -~sinO
(
aF
sin(} aF
)
_ cosO ar (r,O) - -r- ao (r,O)
-
. aF
cos(} aF
sm (} ar (r, 0) + -r- ao (r, 0)
On en déduit les formules valables pour tout l'exercice
af
aF
sinOaF
ax(x,y) = cosO ar (r,0)- -r- ao (r,O)
af
. aF
cos(} aF
ay(x,y) = smO ar (r,O) + -r- ao (r,O)
et de la même façon, en posant C = g o 7/J
ag
ac
sin (} ac
ax (x, y) =cos(} ar (r, 0) - -r- ao (r, 0)
ag
. ac
cos(} ac
ay(x,y) = smO ar (r,O) + -r- ao (r,O).
Ici, on a F(r, 0) = f (r cos 0, r sin 0) = r 3 ( cos 3 (} - 3 cos(} sin 2 0)
et C(r, 0) = g(r cos 0, r sin 0) = r 3 (3 cos 2 (}sin(} - sin 3 0)
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sin(} )
~cos(}
Il est intéressant de se souvenir d'un peu de trigonométrie : la formule de Moivre
permet de simplifier considérablement les calculs.
cos 30+i sin 30 = (cos O+i sin 0) 3 = ( cos 3 0-3 cos(} sin 2 O)+i (3 cos 2 (}sin O-sin 3 0).
On en déduit que F(r, 0) = r 3 cos 30 et C(r, 0) = r 3 sin 30, d'où un calcul très
simple des dérivées partielles de ces fonctions.
aF
2
ar (r, 0) = 3r cos 30 ; ~: (r, 0) = -3r 3 sin 30
~~ (r, 0) = 3r 2 sin 30 ;
ac
3
ao (r,O) = 3r cos30.
.
af af ag ag
.
Reportant ces valeurs dans les expressions de ax, ay, ax, ay, on obtient :