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SOLUTIONS DES EXERCICES
Pour vérifier par un calcul direct, il suffit de poser Ri =Ri +D.R1 et R~ = R2+D.R 2
1 1 R(R I R' )
Ri R~
et de ca cu er
1 , 2 = R' R'
1+ 2
Ici, Ri = 40 - 0,1 = 39,9 et R~ = 63 + 0,2 = 63,2. On obtient donc
R(R' R') = 3919 X 6312 ~ 24 458 583 899
1 ' 2
39,9 + 63,2
,
Remarquons qu'on avait R(R1, R2) = 24,466 019 417.
La valeur de R(Ri, R~) obtenue par un calcul direct (R = 24, 45858) est plus précise
que la valeur approchée obtenue en utilisant la différentielle de R, (R = 24, 45877),
mais l'erreur absolue 10 commise ici par cette formule d'approximation est inférieure
à 2.10- 4 et l'erreur relative est inférieure à 10- 5 , ce qui n'est pas mauvais du tout,
comparée à la valeur relative des accroissements D.Rï, (de l'ordre de 0,53).
Exercice 3.20.
1.a) f(x, y)= x 3 - 3xy 2 ; g(x, y)= 3x 2 y - y 3 .
On a très facilement ~~ (x, y) = 3x 2 - 3y 2 = ~~ (x, y) et ~~ (x, y) = -6xy =
ôg
- ôx (x, y).
2.a)
Pour utiliser les coordonnées polaires, on pose F = f o ' ljJ et G = g o ' ljJ ; on a vu
p. 142 que
J(F)(r,6) = J(f 0 'l/J)(r,6) = J(f)(x,y) · J('l/;)(r,6)1
Donc on a
Or,
J
= (cosO
('l/J)cr,9)
sinO
. 0)
1
(
cosO
sinO)
-rsm
-
e donc (J( ' I/; )(r,6)) = 1 .
1
r cos
- - sm e - cos e
r
r
d'où
10 L'erreur absolue vaut ici IR- RI, tandis que l'erreur relative est IR~ RI. Ce que nous appelons
ici «valeur relative des accroissements l::!.R;, »,c'est le rapport l!::i:I pour i = 1 ou 2.