3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
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comme dans l'exercice précédent, f est solution de l'équation initiale si et seulement
si Fest telle qu'il existe une fonction g d'une seule variable telle que
\f(u,v) E ~ 2 , F(u,v) = g(v).
Puisque f(x,y) = F(u,v) et que v = x + 2y, on a prouvé que les solutions de
l'équation sont les fonctions f qui peuvent se mettre sous la forme
f(x, y)= g(x + 2y).
g étant une quelconque fonction de classe ci.
Exercice 3.19. On utilise la formule d'approximation (voir p. 128)
âf
âf
f(x, y) ~ f(xo, Yo) + âx (xo, Yo)h + ây (xo, Yo)k
Ici, on étudie la fonction R = R(Ri, R2) = R RiR~ , les variables sont Ri et R2
i + 2
et les accroissements de chaque variable sont respectivement !:::.Ri et f:::..R2 (au lieu
de h et k).
On a donc
âR
âR
R(Ri +!:::.Ri, R2 + f:::..R2) ~ R(Ri, R2) + âRi (Ri, R2)!:::..Ri + âR 2 (Ri, R2)!:::..R2
Or âR (Ri R 2 ) - R 2 (Ri + R 2 ) - RiR 2 .l -
R~
et de même (sans re' âRi
'
-
(Ri + R2) 2
- (Ri + R2) 2
faire de calcul, Ri et R2 jouent des rôles symétriques) :~(Ri, R2) = (Ri :ÎR 2
) 2
D'où la formule d'approximation :
Application numérique :
Avec les valeurs de l'énoncé, on obtient
R(R
t::..R R
t::..R)"' 40 X 63 63 2 .(-0,1) + 40 2 .0,2 = 2520 320- 396,9
i + i, 2 + 2 - 40 + 63 +
(40 + 63)2
103 + 1032
~ 259 483 • 1 ~ 24 458 770 855
10609
'