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SOLUTIONS DES EXERCICES
3. Une bonne façon d'inverser un système de deux équations à deux inconnues
consiste à utiliser la méthode dite des déterminants ou de Cramer 9 . Ici, le déterminant du système est :
1
u
V
u
V
- -
v2
u2
u2 + v2
= ·
v2
v2
Ce déterminant est toujours non nul car on s'est placé dans V dans lequel on a
v >O. On obtient donc
âF
1
âu (u,v)
v
âF
u
âf
âx (x,y) =
-â (u,v)
2
V
V
u2 +v2
v 2 ( u âF
1 âf
)
= - u2 + v2 - v2 âu ( u, v) - ;;; âv ( u, v)
v2
1
( âF
âF
)
= 2
2 U - 8 ( u, V) + V - 8 ( U, V) ;
U +v
U
V
âF
u âu (u,v)
âF
âf
v âv (u, v)
v2
( âF
âF
)
ây (x,y) = ~~u':=2-+-v"""'2--' = - u2 + v2 u âv (u,v)-v âu (u,v)
v2
v 2 ( âF
âF
)
= 2
2 v -
8 (u,v)-u- 8 (u,v) .
U +v
U
V
On retrouve bien les résultats annoncés.
4. Reportant ces valeurs obtenues dans l'équation (&) et exprimant x et y en
fonction de u et v selon le changement de variable suggéré, on obtient l'équation
9 Pour mémoire, lorsque les calculs sont possibles, donc pour ad - be =f 0 :
{
ax+by=a
ex+ dy = f3
={
1 ~ ~ 1 ad- b/3
x=
= - - -
1 ~ ~I ad-be
1 ~ ~ 1 a/3- ac
y=
=
.
1~ ~I ad-be