3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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(E') :
u 2 + v 2 u 1 ( âF
âF
)
2 2
2
2 U - 8 ( u, V) + V - 8 ( U, V)
VU +v
U
V
+ ( 1 + ~:) u2: v2 (V~~ ( u, V) - u ~: ( u, V)) = 0
u 2 âF
âF
âF
âF
{::::::} - -
8 (u, v) + u -
8 (u, v) + v -
8 (u, v) - u -
8 (u, v) = 0
V
U
V
U
V
u 2 +v 2 âF
âF
{::::::}
Ô ( U, V) = Ü {::::::} - 8 ( u, V) = Ü.
V
U
U
Donc une fonction f vérifie (E) sur Psi et seulement si la fonction F = f o c.p a sa
première dérivée partielle nulle sur 'D. Une telle fonction Fest une fonction ne
dépendant pas de u. Il existe donc une fonction g telle que
V(u, v) E 'D, F(u, v) = g(v).
Mais, puisque F = f o c.p, on a aussi bien sûr f = F o c.p- 1 , donc pour tout
(x, y) E P, on a f(x, y) = F(c.p- 1 (x, y))
Mais l'expression de c.p- 1 a été déterminée lors de la première question, lorsqu'on
a cherché l'antécédent de x et de y, et on a donc
-1
(~ ~)
c.p (x,y)=(u,v)= V1+1Jiy'V1+1Ji .
On en déduit que pour que f soit solution de ( E), il faut et il suffit qu'il existe
une fonction g telle que F(u, v) = g(v), donc telle que
-1
(~ ~) (~)
f(x, y)= F(c.p (x, y))= F y 1+1Ji y; y 1+1Ji = g y 1+1Ji .
5. Sachant que f est une solution de (E), il s'agit donc de déterminer la fonction
g telle que f (x, y) ~ g ( ~ pour tout (x, y) E P.
Dérivant par rapport à x cette égalité, compte tenu de la valeur qu'on impose à
~~, on obtient l'équation
1 : y2 ~ ! H ~) ~ g (J 1 !xy2) ! (J 1 !xy2)
' ( ~)
1
= 9 V 1+1Ji J2x(I + y2).