3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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Exercice 3.17.
1. L'application cp : (u, v) 1---t (x, y) = ( u
2
; v
2
, ; ) est définie et évidemment
de classe C 00 sur son ensemble de définition qui est lR x JR* .Le problème est de
vérifier qu'elle est bijective, donc de voir si chaque élément de P possède bien
un antécédent et un seul par cette application cp. Pour cela, il suffit d'étudier le
système ( S) d'inconnues ( u, v), avec ( x, y) considérés comme paramètres.
(S) <= {
=!
u2 +v2
u 2
- =y
V
=X
v=±~
{::=:::} { u 2 + v 2 = 2x
u=vy
u=±~y.
On constate que puisque x > 0 par hypothèse, ce système possède toujours deux
solutions, et cp est surjective, mais pas injective. Pour obtenir une application
bijective, on souhaite que le système (S) possède une unique solution, il suffit de se
restreindre à l'ensemble des ( u, v) tels que v > 0 : on prendra donc V = lR x JR*+,
et la restriction de cp à V (qu'on continuera, par abus de langage à appeler cp) est
cette fois une bijection de V sur P.
2. Une méthode simple consiste à utiliser le corollaire 3.75 (p. 140).
Matriciellement, on peut considérer que pour tout ( u, v) E V, tel que
( u2 +v2 u)
(x,y) = (x(u,v),y(u,v)) =
2
, -:;; , on a:
J(F)(u,v) = J(f 0 'P)(u,v) = J(f)(x,y) · J(cp)(u,v)
af
)
au (u,v)
(
ax
ay(x,y) · ay
au (u,v)
( aF
aF
)
(af
au (u, v) av (u, v) = ax (x, y) aj
) (U V )
ay (x, y) . ! _.!!._
V
V 2
D'où le résultat
ax
)
a)u,v)
ay
a)u,v)