3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
365
(
8fi
8fi
_ 8 x (x,y,z) 8 y (x,y,z)
J(f)(x,y,z) -
8f2
8f2
8 x (x,y,z) 8 y (x,y,z)
On a
( 1
2y
0 )
= y 2 z 2xyz xy 2
891
891
8u (u,v) 8v (u,v)
et
J(9)(u,v) =
892
892
8u (u,v) 8v (u,v)
893
893
8u (u,v) 8v (u,v)
Pour le calcul des différentielles de 9 o f et f o 9, la première méthode consiste à
donner l'expression de ces fonctions et à calculer directement leur différentielle,
et la deuxième méthode consiste à utiliser le théorème 3.74 (p. 137) ou plutôt
son corollaire 3.75 (p. 140) qui donne la matrice jacobienne d'une application
composée.
Première méthode
On a pour tout (x, y, z), en posant h =(hi, h2, h3) = 9 of,
h(x, y, z) = 9 o f(x, y, z) = 9(x + y 2 , xy 2 z)
De sorte que
J(9 ° J)(x,y,z) =
= ((x + y2)2 + (xy2z), (x + y2)(xy2z), e(xy2z))
= (h1 (x, y, z), h2(x, y, z), h3(x, y, z)).
=
xy 2 z + (x + y 2 )y 2 z 2y(xy 2 z) + (x + y 2 )2yxz
(
2(x + y 2 ) + y 2 z
4y(x + y 2 ) + 2yxz
y2 z e(xy2z)
2xyz e(xy2z)
De même, posant w = f o 9 = (w1, w2), on a pour tout (u, v) :
w(u, v) = f o 9(u, v) = J(u 2 + v, uv, ev) = ((u 2 + v) + (uv) 2 , (u 2 + v)(uv) 2 ev)