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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 3.15.
Les fonctions composantes de f sont fi, h, fa respectivement définies par
fi(x, y, z) = x + y 2 + z; h(x, y, z) = xy 2 z ; fa(x, y, z) = x 2 z + xy.
Ces trois fonctions sont clairement de classe C 0 ' \ donc sont différentiables sur ~3.
La différentielle de f est l'application df de ~ 3 à valeurs dans l'ensemble .C(~ 3 , ~ 3 )
des applications linéaires de ~ 3 vers ~ 3 , qui à tout (x, y, z) associe l'application
linéaire df(x,y,z) dont la matrice (pour les bases canoniques) est la matrice jacobienne de f en (x, y, z)
[)Ji
[)fi
afi
ax (x, y, z) 8 (x,y,z) {)z (x,y,z)
J(J)(x,y,z) =
ah
a%
ah
ax (x, y, z) 8 (x,y,z) {)z (x,y,z)
[)fa
ah
[)fa
ax (x, y, z) [)y (x,y,z) {)z (x,y,z)
J(f)(x,y,x) ~ ( y:z
2y
x~)
2xyz
2xz+y
X
x2
Comme la dimension de l'espace de départ et celle de l'espace d'arrivée sont égales,
on peut calculer le Jacobien de f; c'est le déterminant de la matrice J(J), et il
vaut donc
1
2y
1
IJ(J)(x,y,z)I =
y 2 z
2xyz xy 2
2xz +y
x
x 2
= 2x 3 yz + 2xy 3 (2xz +y)+ xy 2 z - 2xyz(2xz +y) - x 2 y 2 - 2x 2 y 3 z.
Exercice 3.16.
Comme pour l'exercice précédent, la différentiabilité de toutes les fonctions de cet
énoncé est assurée par le caractère évidemment C 00 donc C 1 de toutes les fonctions
composantes.
Pour définir les différentielles de f et g qui sont, pour chaque élément de leur
ensemble de départ, des applications linéaires, le plus simple est de donner leur
matrice jacobienne.