3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE llP VERS !Rn
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En revanche, h(x, y) n'a pas de limite en (0, 0) : en effet, en utilisant h(O, y) = 0,
on voit que cette limite devrait être nulle, mais en utilisant la suite (xn, 0) avec
Xn = - 2
1 , on constate que bien que lim (xn,O) = (0,0), on a
nn
n4oo
i
h(xn,O) = àcos(2nn) = 1,
47r2n2
donc lim h(xn, 0) = 1 =/:-O.
n4oo
Finalement, on peut donc affirmer que ~~ n'a pas de limite en (0, 0), donc f n'est
certainement pas de classe ci en (0, 0).
Cependant, ~~ (0, 0) existe et vaut 0, comme on s'en aperçoit en étudiant le
quotient
f (h, 0) - f (0, 0)
h
h 2 . i
sm lhf
. 1
h
= h smïhî·
Cette quantité étant clairement majorée en valeur absolue par lhJ, elle tend vers 0
pour h-+ O.
De même, on a ~~ (0, 0) = 0 (même type de raisonnement).
Pour étudier la différentiabilité de f en (0, 0), on doit mettre f(h, k) sous la forme
f(h, k) = f(O, 0) +Ah+ Bk+ li(h, k)lic(h, k)
Mais f(O, 0) = 0 et nécessairement, A= ~~ (0, 0) = 0 = ~~ (0, 0) = B, donc on
doit prendre
( ) - f(h, k) - v 2 2 in ( 1 )
é h, k - v'h2 + k2 - h + k s v'h2 + k2
On obtient facilement que
lc(h, k)I ~ v'h 2 + k 2 = ll(h, k)ll ------t o
(h,k)4(0,0)
donc on a lim c(h, k) = 0 et f est bien différentiable en (0, 0).
(h,k)40
Cette fonction était un exemple de fonction différentiable qui n'est pas de classe
ci.