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SOLUTIONS DES EXERCICES
â f
x 4 + 3x 2 y 2 + 2xy 3
.
,
,
â f
- 8 (x, y) =
( 2
2 ) 2
, et en smvant 1 axe des ordonnees, on a - 8 (0, y) ==
X
X +y
X
âf
âf
.
0 ne tend pas vers 1 = âx (0, 0) pour y -t 0, donc âx n'est pas contmue en (0, O).
On ne peut rien conclure pour l'instant, et on doit étudier directement la différentiabilité de f en (0, 0).
On cherche à écrire pour (x, y)= (0 + h, 0 + k),
f(x, y)= f(O, 0) +Ah+ Bk+ ll(h, k)llc(h, k)
avec
lim c(h, k) = O. On sait qu'on doit prendre nécessairement A ==
(h,k )-+(0,0)
~~ (0, 0) = 1 et B = ~~ (0, 0) = -1, de sorte qu'on doit choisir
h3 -k3
c(h k) = f(h, k) - f(O, 0) - h + k = h2 + k2 - h + k
'
Jh2 + k2
Jh2 + k2
h 3 - k 3 - h(h 2 + k 2 ) + k(h 2 + k 2 )
hk(h - k)
3
=
3'
(h2 + k2)2
(h2 + k2)2
On constate que ce quotient ne tend pas vers 0 pour (h, k) -t (0, 0), comme on
peut le vérifier en utilisant k = -h, c'est-à-dire en se rapprochant de (0, 0) en
. t 1 d
.,
b'
t . d
'
.
(h h)
2 h
3
h
3
smvan a euxieme issec nce u repere, pmsque c , -
=
3 = to 3
(2h2) 2
y 2lhl
n'a pas de limite pour h -t 0 (limites à droite et à gauche différentes) et ne tend
donc pas vers O.
Conclusion : f n'est pas différentiable en (0, 0).
2. f définie par f ( x, y) = ( x 2 + y 2 ) sin ( 2
1 2 ) est clairement de classe C 00
Jx +y
sur ~ 2 \ {(O, O)}, donc différentiable sur ce domaine. C'est ici aussi en (0, 0) que
se pose un problème.
On a pour (x, y) =/: (0, 0),
âf
. (
1
)
2
2
(
1
)
-x
- 8 ( x, y) = 2x sm V 2 2 + ( x + y ) cos V 2 2
3
X
X +y
X +y
(x2+y2)2
2 ·( 1) X ( 1)
=xsm
-
cos
V x2 + y2
V x2 + y2
V x2 + y2
g(x,y)
h(x,y)
Il est clair que lg(x, y)I ::;;; 2lxl donc
lim g(x, y) =O.
(x,y)-+(0,0)