3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
361
Pour un point de l'axe (0, Yo) de l'axe des ordonnées, on montre sans difficulté
et de la même façon que Ni n'est pas dérivable par rapport à x, donc n'est pas
différentiable.
3. On applique le même type de raisonnement : dans chacun des domaines
Di= {(x,y) 1 x >y et x >-y}, D2 = {(x,y) 1 y< x et y> -x}, Ds = {(x,y) 1
x
donc différentiable.
C'est sur les frontières de ces quatre domaines qui sont les deux bissectrices du
repère, (les droites y= x et y= -x) que la différentiabilité pose problème.
étudions la différentiabilité de N00 en un point (xo, xo) de la première bissectrice
0 L
.
Ni(xo,xo + k) - Ni(xo,xo) max(lxol, lxo + kl) - lxol
avec x0 > : e quotient
k
=
k
n'a pas la même valeur selon que k est positif ou négatif (tout en restant suffisamment petit).
Si k < 0, on a xo + k = lxo + kl < lxol = xo donc ce quotient vaut
max(lxol, lxo + kl) - lxol = xo - xo = 0
k
k
.
Si k > 0, on a xo + k = lxo + kl > lxol = xo, donc le quotient vaut
max(lxol, lxo + kl) - lxol = (xo + k) - xo = ~ = 1
k
k
k
.
Pour k --+ 0, la limite est différente à droite et à gauche, donc N 00 n'est pas
dérivable partiellement par rapport à y en (x0 , xo), et n'est donc pas différentiable.
On raisonne de la même façon sur chacune des trois autres demi-droites frontières,
ou en (0, 0) et on montre à chaque fois la non dérivabilité partielle de N00 en ces
points, donc la non différentiabilité.
Exercice 3.14.
3
3
1. f définie par f(x,y) = x 2 -y 2 est clairement de classe C 00 sur JR 2 \ {(0,0)},
X +y
donc différentiable sur ce domaine. C'est donc uniquement en (0, 0) que se pose
un problème.
0 't d' 1 d'. b'l't'
t' 11 d f
· t f(h,O)- f(O,O)
h 3 -O 1
ne u ie a enva 11 e par 1e e e en ce pom :
h
= h 2 . h =
et f(O,k) ~ f(O,O) = Ok~.: = -1 admettent des limites finies, respectivement 1
.
âf
âf
et -1 pour respectivement h --+ 0 et k --+ 0, donc âx (0, 0) = 1 et ây (0, 0) = -1.
Cependant f n'est pas de classe ci en ce point, car on a, pour (x, y) =f. (0, 0),
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Pour un point de l'axe (0, Yo) de l'axe des ordonnées, on montre sans difficulté
et de la même façon que Ni n'est pas dérivable par rapport à x, donc n'est pas
différentiable.
3. On applique le même type de raisonnement : dans chacun des domaines
Di= {(x,y) 1 x >y et x >-y}, D2 = {(x,y) 1 y< x et y> -x}, Ds = {(x,y) 1
x
donc différentiable.
C'est sur les frontières de ces quatre domaines qui sont les deux bissectrices du
repère, (les droites y= x et y= -x) que la différentiabilité pose problème.
étudions la différentiabilité de N00 en un point (xo, xo) de la première bissectrice
0 L
.
Ni(xo,xo + k) - Ni(xo,xo) max(lxol, lxo + kl) - lxol
avec x0 > : e quotient
k
=
k
n'a pas la même valeur selon que k est positif ou négatif (tout en restant suffisamment petit).
Si k < 0, on a xo + k = lxo + kl < lxol = xo donc ce quotient vaut
max(lxol, lxo + kl) - lxol = xo - xo = 0
k
k
.
Si k > 0, on a xo + k = lxo + kl > lxol = xo, donc le quotient vaut
max(lxol, lxo + kl) - lxol = (xo + k) - xo = ~ = 1
k
k
k
.
Pour k --+ 0, la limite est différente à droite et à gauche, donc N 00 n'est pas
dérivable partiellement par rapport à y en (x0 , xo), et n'est donc pas différentiable.
On raisonne de la même façon sur chacune des trois autres demi-droites frontières,
ou en (0, 0) et on montre à chaque fois la non dérivabilité partielle de N00 en ces
points, donc la non différentiabilité.
Exercice 3.14.
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1. f définie par f(x,y) = x 2 -y 2 est clairement de classe C 00 sur JR 2 \ {(0,0)},
X +y
donc différentiable sur ce domaine. C'est donc uniquement en (0, 0) que se pose
un problème.
0 't d' 1 d'. b'l't'
t' 11 d f
· t f(h,O)- f(O,O)
h 3 -O 1
ne u ie a enva 11 e par 1e e e en ce pom :
h
= h 2 . h =
et f(O,k) ~ f(O,O) = Ok~.: = -1 admettent des limites finies, respectivement 1
.
âf
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et -1 pour respectivement h --+ 0 et k --+ 0, donc âx (0, 0) = 1 et ây (0, 0) = -1.
Cependant f n'est pas de classe ci en ce point, car on a, pour (x, y) =f. (0, 0),