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SOLUTIONS DES EXERCICES
3. 7 - 3.8 Différentiabilité
Exercice 3.12.
On peut se dispenser de toute démonstration en utilisant la proposition 3. 72
(p. 136). Mais pour bien comprendre cette notion, nous allons reprendre le raisonnement.
Soient (a b) les composantes de f dans la base canonique. On a donc, pour tout
(x, y) E JR 2 ,
f(x, y) = ax + by.
Fixons (xo,Yo) E JR 2 . On a, pour tout (x,y) = (xo + h,yo + k)
f(x, y)= f(xo + h, Yo + k) = f ( (xo, Yo) + (h, k)) = f(xo, Yo) + f(h, k)
= f(xo, Yo) +ah+ bk
= f(xo, Yo) +ah+ bk + ll(h, k)llê(h, k),
en posant c(h, k) = 0, on a clairement
lim c(h, k) =O.
(h,k)-t(O,O)
Donc f est bien différentiable en (xo, yo), et la forme linéaire df(xo,yo) est l'application (h, k) f-----t ah+ bk : c'est bien l'application f.
Exercice 3.13.
âN2
que âx (x, y) =
1. Sachant que N2 ( x, y) = ..,/ x 2 + y 2 , on calcule facilement
X
âN2
y
..,/ 2
2 et - 8 (x, y) = ..,/ 2
2 pour (x, y) f: (0, 0). Ces
X +y
Y
X +y
dérivées partielles étant clairement continues sur JR 2 \ {(0,0)}, on en déduit, sans
fatigue excessive que N2 est différentiable sur JR 2 \ { (0, O)}.
En (0, 0), N2 n'est pas partiellement dérivable, puisque le quotient
N2(h,O) - N2(0,0)
lhl ,
d 1 . .
h
o (1" · , d ·
'
h
= h n a pas e imite pour --+ imites a r01te et a
gauche différentes), donc N2 n'est pas différentiable en (0, 0).
2. De la même façon, puisque Ni(x, y)= x +y ou Ni(x, y)= x -y ou Ni(x, y)=
-x + y ou Ni ( x, y) = -x - y selon le quadrant dans lequel on se place, Ni
est clairement de classe C 1 sur les quatre domaines ouverts Qi = {(x,y) 1 x >
0 et y > O}, Q2 = {(x, y) 1 x > 0 et y < O}, Q3 = {(x, y) 1 x < 0 et y > O},
Q4 = {(x,y) 1 x < 0 et y < O}, donc Ni est différentiable sur chacun de ces
domaines.
Il y a problème à la frontière de ces domaines, c'est-à-dire sur les axes de coordonnées.
Étudions la différentiabilité de Ni en un point (xo, 0) de l'axe des abscisses : Ni
n'est pas dérivable partiellement par rapport à y en (xo, 0) car le quotient
Ni(xo, k) - Ni(xo, 0)
lxol + lkl - lxol lkl ,
d 1 . ·
k o s·
k
=
k
= k n a pas e imite pour --+ . i
Ni n'est pas dérivable par rapport à une des variables en (xo, 0), elle n'y est pas
différentiable.