3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
5. f(x,y) = x2y3 + 3x3y3 + 2x2y4.
Pour cette fonction, on a
âf
âx (x, y)= 2xy 3 + 9x 2 y 3 + 4xy 4 = xy 3 (2 + 9x + 4y)
~~ (x, y)= 3x 2 y 2 + 9x 3 y 2 + 8x 2 y 3 = x 2 y 2 (3 + 9x + 8y).
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Il y a donc un extremum possible en tout point (x, y) tel que x = 0 ou y= 0, et
aussi en (x, y) solution du système
{
9x+4y+2 = 0
9x+8y+3 = 0 ~{
D'autre part, on a
a 2 1
âx 2 (x, y)= 2y 3 + 18xy 3 + 4y 4 = 2y 3 (1+9x + 2y)
â2J
âxây (x, y)= 6xy 2 + 27x 2 y 2 + 16xy 3 = xy 2 (6 + 27x + 16y)
a 2 1
ây 2 (x, y)= 6x 2 y + 18x 3 y + 24x 2 y 2 = 6x 2 y(l + 3x + 4y).
En un point (x, y) tel que x = 0 ou y = 0, on a r = 2y 3 ; s = t = 0, donc
s 2 - rt = 0 et on ne peut pas conclure directement 8 •
Étudions le point intéressant : ( x, y) = ( - à, -:l).
En ce point, on a
2
1
1
r = - 64 {l - 1 - 2) = 64
1
1
s = - 9.16 ( 6 - 3 - 4 ) = 144
6
1
1
t = - 81.4 {l - 3 - l) = 162'
d' ' 2
1
1
1
1
1
1
0
ou 8 - rt = 1442 - 64.162 = 34.28 - 21.34 = - 34.28 = - 20736 <
On peut donc affirmer que f présente en (-!, -:l) un extremum strict, qui est
un minimum puisque r > O.
8 En fait, pour xo = 0 et Yo =/- 0, puisque f(x, y) = y 3 x 2 (1+3x + 2y), on est sûr que f(x, y) est du
signe de y3(1 + 2yo) pour (x, y) proche de (0, yo). Donc sauf en (0, - ~) et en (0, 0), f présente
un extremum en (0, yo), qui est forcément un extremum non strict, puisque f(O, y) = 0 = f(O, yo)
pour tout (O,y) dans tout voisinage de (0,yo).
En revanche, pour yo = 0, puisque y 3 change de signe en 0, on est sûr que f ne présente pas
d'extremum en (xo, 0).
Vous voyez sur cet exemple qu'il est souvent très difficile de conclure lorsqu'on ne peut appliquer
les critères du théorème 3.52 (p. 114)