358
SOLUTIONS DES EXERCICES
Un point (x, y) où il est possible qu'il y ait un extremum est donc solution du
système
(S) ~ {
2x - eY + y - 1 = 0
-2x(eY - 1) + 2e 2 Y + 2(y -1) = 0
2x = eY -y+ 1
~
{ -(eY - y+ l)(eY - 1) + 2e 2 Y + 2(y - 1) = O
2x = eY -y+ 1
~
{ -e 2 Y + eY + yeY - y - eY + 1 + 2e 2 Y + 2y - 2 = 0
(S) ~ {
2x=eY-y+l
e 2 Y - 1 + yeY + y = 0
{
2x = eY -y+ 1
(eY - l)(eY + 1) + y(eY + 1) = 0
~ { 2x = eY - y+ 1
eY-l+y=O
(en effet, eY + 1 > 0).
Soit cp(y) = eY - 1 +y ; on a cp' (y) = eY + 1 > 0, donc cp est strictement croissante,
continue sur~ et puisque cp(O) = 0, 0 est la seule valeur qui annule cp(y).
Donc on a
(S) ~ { 2x = eY - y+ 1
y=O
~ { 2x = 1-0+ 1
y=O
Le seul point où il peut y avoir extremum, c'est en (1, 0).
D'autre part, on a
â2J
âxây (x, y)= -2(eY - 1) ;
donc en ce point (1, 0), on a
~ { x=l
y=O.
r = 4 > 0 ; s = 0 ; t = 4 ; s 2 - rt = -16 < 0
donc f présente un minimum relatif 7 strict en (1, 0).
7 C'est en fait un minimum absolu, comme on peut s'en rendre compte en remarquant que
f (x, y) = (x - eY) 2 + (x +y - 1) 2