3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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r = 20 = t et s = 4 donc s 2 - rt = -384 < 0 et f présente un extremum relatif
strict en ces deux points ; puisque r > 0, ce sont des minimums.
3. f(x, y)= x 2 - 6xy + y 4 - 20y + 8x + 2.
Pour cette fonction, on a
âf
âx (x, y)= 2x - 6y + 8 = 2(x - 3y + 4)
~~ (x, y)= -6x + 4y 3 - 20 = 2(-3x + 2y 3 - 10).
Un point (x, y) où il est possible qu'il y ait un extremum est donc solution du
système
{
x-3y+4 = 0
-3x + 2y 3 - 10 = 0
{
X= 3y-4
~
-9y + 12 + 2y 3 - 10 = o.
La deuxième équation s'écrit 2y 3 - 9y + 2 = 0; heureusement, elle admet une
racine évidente y= 2, et on peut donc la factoriser
(y - 2)(2y 2 + 4y - 1) =O.
Les trois racines de cette équation sont donc YI = 2, Y2 = -1 + :!,}- et y3 = -1- :!,}-·
On conclut donc, en reportant ces trois valeurs dans la première équation du
système, qu'en trois points il peut y avoir extremum :
en (2,2); en (x2,y2) et en (x3,y3) (avec x2 = -7 + 3 f et X3 = -7- 3 f)
Or, on a
{)2j
âxây (x, y) = - 6
82!
-
2
ây 2 (x, y) - 12y .
Donc en (2, 2), on a r = 2 > 0; s = -6; t = 48 donc s 2 - rt = -60 < 0 et f
admet un minimum strict en ce point.
En (x2, y2), on a r = 2 > 0; s = -6; t = 12(1 - v'6 + ~) 2 = 30 - 12v'6.
Ici, on a s 2 - rt = 36 - 2(30 -12v'6) = -24 + 24v'6 ~ 34,78775383 > 0, donc f
ne présente ni maximum, ni minimum en ce point.
En (x3, y3), les calculs sont exactement les mêmes en changeant le signe devant
chaque v'6, de sorte que s 2 - rt = -24 - 24v'6 < 0 et f présente donc un minimum
strict en ce point.
4. f(x, y)= 2x 2 - 2x(eY - y+ 1) + e 2 Y +(y - 1) 2 •
Pour cette fonction on a
âf
âx (x, y)= 4x - 2(eY - y+ 1) = 2(2x - eY +y - 1)
âf (x,y) = -2x(eY -1) + 2e 2 Y + 2(y- l).
ây