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SOLUTIONS DES EXERCICES
Ces conditions donnent naissance au système
{
2x-y =0
-x + 2y-3 = 0
~ { y=2x
3x = 3
~ { x=l
y=2.
Donc le seul endroit où f peut présenter un extremum, c'est en (1, 2).
Calculons les quantités r, s, t en ce point.
&J
&J
&J
Ona âx 2 (x,y)=2; âxây(x,y)=-l; ây 2 (x,y)=2
Donc r = t = 2 et s = -1. Ici, on a s 2 - rt = -3 < 0, donc f présente bien un
extremum strict en (1, 2) et c'est un minimum puisque r > O.
2. f(x,y) =x 4 +y 4 -2(x-y) 2 .
On raisonne de la même façon. On a
âf
3
âx (x, y)= 4x - 4(x - y)
et
D'où le système à résoudre:
{
x 3 - (X - y) = 0
y 3 + (x -y)= 0
~ { x-y=x 3
x-y = -y3
{
y=-X
x 3 - 2x = 0
~~ (x, y) = 4y 3 + 4(x - y).
~ { x3 = -y3
x-y=x 3
{
x=O=y
~
OU X = J2 = -y
OU X = -J2 = -y.
Il y a donc 3 points ouf peut présenter un extremum: en (0, 0), en ( v'2, -J2)
et en (-J2, J2). On calcule les nombres r, s, t en ces trois points.
â 2 f
â 2 f
. â 2 f
,
On a âx 2 (x, y)= 12x 2 -4; âxây (x, y)= 4; ây 2 (x, y)= 12y 2 -4 par consequent
en (0, 0) :
r = -4 = t et s = 4 donc s 2 - rt = 0 : on ne peut pas conclure directement.
On peut montrer qu'il n'y a ni minimum, ni maximum en ce point en considérant
deux chemins passant par (0, 0) : d'une part pour x =y= t, on a f(x, y)= 2t 4 >
0 = f(O, 0), donc tout voisinage de (0, 0) contient au moins un point (x, y) = (t, t)
pour lequel f(x, y) > f(O, 0) : il n'y a pas de maximum en (0, 0).
D'autre part, pour x = t et y= 0, on a f(x, y) = t 4 -2t 2 = t 2 (t 2 -2) < 0 = f(O, 0)
lorsque ltl < J2. Tout voisinage de (0, 0) contient au moins un point (x, y) = (t, 0)
avec ltl < v'2, donc tel que f(x, y) < f(O, 0) et f ne présente donc pas de minimum
en (0, 0).
en ( v'2, -J2) et en (-J2, J2) (les calculs sont exactement les mêmes en ces deux
points) :