3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JR.P VERS JR.n
355
(Auriez-vous réussi à montrer ce résultat sans dériver ? 6 )
.
t2 + 1 et2+1
2. Ici, on a F(t) = t 2 + 1 + ~l
e
t +
Ôf
Y
1
Ôf
1
X
On a -(x,y) = - - + - et -(x,y) = - - -·
&
~
y
~
X
~
Comme d'autre part, on a x'(t) = 2tet 2 +1 et y'(t) = 2t, on obtient
F'(t) = x'(t) ~~(x(t),y(t)) +y'(t) ~~(x(t),y(t))
_ ( 2 t) é2+ 1 ( - y(t) + _1_) + ( 2 t) (-1- _ x(t) )
-
(x(t)) 2 y(t)
x(t) (y(t)) 2
_
( t2+1 ( - t 2 + 1
_1 _)
( -(t2+1) _ et 2 +1 ) )
- 2t e
e2(t2+1) + t2 + 1 + e
(t2 + 1)2
= 2t ( e-(t 2 +1) (-(t 2 + 1) + 1) + (t~t:+~) 2 ( (t 2 + 1) - 1))
,
2t 3 ( et
2 +1
t 2 + 1)
F (t) = t2 + 1 t2 + 1 - et2+1
3. Ici, on a F(t) = (t 2 + l)(ln t)(tan t)
âf
âf
âf
On a âx (x, y, z) = yz; ây (x, y, z) = xz et âz (x, y, z) = xy.
Comme d'autre part, on a x'(t) = 2t, y'(t) = ~ et z'(t) = 1 + tan 2 ton obtient
t
âf
âf
âf
F'(t) = x'(t) âx (x(t), y(t), z(t)) + y'(t) ây (x(t), y(t), z(t)) + z'(t) âx (x(t), y(t), z(t))
1
= (2t) ln t tant+ (t 2 + l)t tant+ (t 2 + 1) ln t(l + tan 2 t)
3.6 Extrema
Exercice 3.11.
1. f(x, y)= x 2 - xy + y 2 - 3y.
Pour qu'il puisse y avoir un extremum en un point (x, y) il est nécessaire que
âf
âf
ÔX (X' y) = Ôy (X' y) = Ü
.J2 sin(t + .?!.)
6 F(t) =arctan .J2
4
=arctan tan(t + ~) ...
2cos(t+~)