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SOLUTIONS DES EXERCICES
De la même façon, on trouve que
0 4 .k + 4.0 2 .k 3 - k 5 - 0
k5
~(O, k) - ~(O, 0) =
(02 + k2)2
- k4
k
k
= - k - =-l,
[J2f
de sorte que âyâx (0, 0) = -1.
On trouve sur cet exemple des « dérivées secondes croisées » qui ont des valeurs
différentes en (0, 0).
â2J
â2J
âxây (O, O) =/= âyâx (O, O)
Ce résultat n'est pas en contradiction avec le théorème de Schwarz. On peut
simplement affirmer qu'ici au moins une des hypothèses de ce théorème n'est
t . f 't p .
1 d, . ,
d
. ,
â2 f t â2 f
.
pas sa is ai e. msque es envees secon es « cr01sees » âxây e âyâx existent
partout, c'est leur continuité en (0, 0) qui est en défaut. Si on avait le courage de
calculer ces dérivées secondes croisées pour (x, y) =/= (0, 0), on s'apercevrait que
leur expression est une fraction de deux polynômes homogènes en x et y dont le
degré total est 0 : il n'est donc pas étonnant que ces fonctions n'admettent pas de
limite en (0, 0), et donc ne soient pas continues en ce point.
Exercice 3.10. 1. Ici, on a F(t) =arctan
.
.
.
(cos t +sin t)
cost- smt
Ô f
y
1
-y
Ô f
1 1
X
Or, a ( x, y) = -2 2 - 2 2 et a (X, y) = -
2 = 2
2
X
X l+~
X +y
y
Xl+~
X +y
x2
x2
Comme d'autre part, on a x'(t) = -(sint+cost) et y'(t) = cost-sint, on obtient
F'(t) = x'(t) ~~ (x(t), y(t)) + y'(t) ~~ (x(t), y(t))
.
-y(t)
.
x(t)
= -(sm t +cos t) [x(t)J2 + [y(t)] 2 + (cos t - sm t) [x(t)J2 + [y(t)J2
_ (sin t + cos t) (cos t + sin t) + (cos t - sin t) (cos t - sin t) _ 1
-
(cos t - sin t )2 + (cos t + sin t) 2
- ·
On a donc sur chaque intervalle h =] - 3 ; + k7r; Î + k7r[ du domaine de définition
de F,
F(t) = t + Ck.
Tenant compte de la 7r-périodicité de F, on a Ck+l = Ck - 7r, et en utilisant la
valeur
F(O) =arctan 1 = î =Co, on en déduit une expression très simplifiée de F:
F(t) = t - k1f + î pour tout t Eh=] - 3 ; + k7r; î + k7r[.