3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
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f .
f (h, 0) - f (0, 0) 0 - 0
Commençons par le plus ac1le: on a
h
= -h- = 0----+ 0, donc
h--+0
âf
âx (0,0) =O.
Sans aucune difficulté, on obtient aussi que ~~ (0, 0) = 0 puisque
f(O, k) - f(O, 0) = 0 - 0 = O----+ O.
k
k
k--+0
Maintenant on va calculer ~~ (x, y) pour (x, y) =f (0, 0).
âf x y = !.___ (x3y - xy3) = (3x2y - y3)(x2 + y2) - (x3y - xy3)(2x)
âx ( ' ) âx
x2 + y2
(x2 + y2)2
x4y + 4x2y3 _ y5
(x2 + y2)2
Ensuite, en échangeant le rôle de x et de y, l'expression de f(x, y) change de signe,
de sorte que sans faire de nouveau calcul 5 on peut affirmer que
âf
x5 - 4x3y2 - xy4
ây (x, y) =
(x2 + y2)2
On peut maintenant calculer ::ty (0, 0) = ! ( ~~) (0, 0) : c'est la limite, pour
h ~ 0, du quotient
~(h,O) - ~(0,0)
h
hs - h3.02 - h.o4 - o hs
(h2 + 02)2
h4
h
= h = l .
a 2 1
On peut donc affirmer que âxây (0, 0) = 1.
5 Pour se convaincre de ce résultat, il suffit de calculer de deux façons différentes la dérivée partielle
par rapport à y de la fonction g définie par g(x, y) = f(y, x) = -f(x, y).
En considérant que g(x, y) = - f(x, y), on trouve bien sûr que ~~ (x, y) = - ~~ (x, y). Mais, en
utilisant que g(x,y) = f(y,x) = f(u1(x,y),u2(x,y)) avec u1(x,y) =y et u2(x,y) = x, on obtient
8g
8f
8u1
8f
8u2
By (x, y)= Bx (u1(x, y), u2(x, y))ay(x, y)+ By (u1(x, y), u2(x, y))ay(x, y)
8f
8f
8f
= 8x(y,x).1+ 8y(y,x).0= 8x(y,x)
D'où le résultat ~~ (x, y)= - ~~(y, x)