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SOLUTIONS DES EXERCICES
âf
ây (x, y) = u(y).
Pour x fixé, on peut donc dire que la deuxième fonction partielle de f en (x, y),
h : t !---+ h(t) = f(x, t) a pour dérivée h'(y) = ~~ (x, y) = u(y).
h est donc une primitive de la fonction u. Soit U une primitive particulière de la
fonction u. Posons F(x, y) = f(x, y) - U(y). Il est clair que
âF
âf
ây (x, y)= ây (x, y) - U'(y) = u(y) - u(y) =O.
La fonction F, d'après 2. est donc une fonction de x: on peut écrire F(x, y)= v(x).
On en déduit que f(x, y) = U(y) + v(x). Comme on a supposé que f est deux
fois dérivable, il est nécessaire que U et v soient elles aussi des fonctions deux fois
dérivables.
Réciproquement, si f peut s'écrire sous la forme f(x, y)= a(x) + b(y), avec a
et b des fonctions d'une variable dérivable, alors on a~~ (x,y) = b'(y) et donc
::ty (x, y)= ! (~~ (x, y)) = ! (b'(y)) = 0 puisque b'(y) ne dépend pas de x,
donc f est solution de l'équation ::ty (x, y)= O.
Conclusion : les fonctions f deux fois dérivables qui vérifient ::ty = 0 sont
les fonctions qui peuvent s'écrire sous la forme f(x, y)= a(x) + b(y) avec a et b
fonctions deux fois dérivables.
Remarque: La fonction f du 4. de l'exercice précédent est telle que :::y (x, y)=
0, il existe donc deux fonctions a et b telles que arctan (t ~;y) = a(x) + b(y).
En comparant avec l'expression des dérivées secondes, on s'aperçoit que l'on
peut prendre a(x) = arctanx et b(y) = arctany, à une constante k7r près (k E
{ -1, 0, 1} ; on retrouve ainsi une formule classique).
Exercice 3.9.
{
xy(x2 -y2)
f(x, y) =
2
2
pour (x, y) =!= (0, 0)
X +y
f(O,O) = 0
âf
âf
. âf
âf
On calcule âx (x, y) et ây (x, y) pour (x, y) =!= (0, 0) et aussi âx (0, 0) et ây (0, O).
Dès à présent, notons que le calcul de ::ty (x, y) ou :::x (x, y) pour (x, y) =/= (0, 0)
n'a aucun intérêt par rapport à la question posée.