3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
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X
y
Z
8. f(x,y,z) = -+- + -·
yz zx xy
Ensemble de dérivabilité : xyz f= 0, on enlève à l'espace les trois plans du repère.
On trouve
[) f
x2 - y2 - z2
ax (x, y, z) =
x2yz
;
[) f
y2 - x2 - z2
[)y (x, y, z) =
xy2z
;
[) f
z2 - x2 - z2
oz (x, y, z) =
xyz2
;
[)2 f
2(y2 + z2)
ax2 (x, y, z) =
x3yz
;
[)2 f
2(x2 + z2) [)2 f
2(x2 + y2)
i::i2(x,y,z)=
3
;
i::i2(x,y,z)=
3
;
uy
xy z
uz
xyz
0 2 f
0 2 f
z2 _ x2 _ y2
~(x,y,z) = ~(x,y,z) =
2 2
;
uxuy
uyux
X y z
0 2 f
0 2 f
y2 _ x2 _ z2
8x8z (x, y, z) = [)z[)x (x, y, z) =
x2yz2
;
0 2 f
0 2 f
x2 _ y2 _ z2
~(x,y,z) = ~(x,y,z) =
2 2
·
uyuz
uzuy
xy z
Exercice 3.8.
1. Si V(x, y) on a ~~ (x, y) = 0, alors g, la première fonction partielle en (x, y) a
par définition sa dérivée nulle. g est donc une fonction constante, ceci quel que
soit y. Cette constante est donc une fonction de y, et on peut affirmer qu'il existe
une fonction u d'une seule variable telle que pour tout (x, y), on a
f(x, y) = u(y)
Remarquons qu'aucune condition de régularité n'est imposée pour la fonction u,
qui n'a même pas besoin d'être continue.
Il est tout à fait clair que réciproquement, la dérivée partielle par rapport à x
d'une fonction qui ne dépendrait que de y est nulle, donc les fonctions de la forme
f(x, y) = u(y) forment bien la solution générale de l'équation étudiée.
2. En raisonnant de la même façon, on obtient aisément que les fonctions f de
deux variables dérivables par rapport à y et vérifiant ~~ = 0 sont les fonctions de
la forme f(x, y) = v(x).
3. Une fonction f vérifiant ::ty (x, y) = 0 pour tout (x, y) est telle que sa dérivée
partielle par rapport à y vérifie :x ( ~~ (x, y)) =O.
En appliquant le résultat du 1. à cette fonction ~~, on peut affirmer qu'on a