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SOLUTIONS DES EXERCICES
x+y
4. f(x, y, z) =arctan 1 -xy;
Ensemble de dérivabilité : Il suffit que xy soit différent de 1, donc on enlève
1
l'hyperbole y=-· On trouve
X
âf
1
âf
1
âx ( x' y) = 1 + x 2 ; ây ( x' y) = 1 + y 2 ;
â 2 f
-2x
8 2 f
-2y
âx2 (x, y) = (1 + x2)2 ; ây2 (x, y) = (1 + y2)2 ;
a 2 1
a 2 1
âxây (x, y)= âyâx (x, y)= O.
5. f(x, y)= Jx 2 + y 2 .
Ensemble de dérivabilité : R 2 \ {(O, O)}. On trouve
Ôf
X
Ôf
Y
âx ( x' y) = y' x2 + y2 ; ây ( x' y) = y' x2 + y2 ;
&2 f
y2
a2 f
x2
â 2(x,y) = ( 2 2)~; â 2(x,y) = ( 2 2) 3
X
X +y 2
Y
X +y 2
â 2 f
â 2 f
-xy
âxây (x, y)= âyâx (x, y)= (x2 + y2)!
1
6. f(x, y)= - -
ex +eY
Ensemble de dérivabilité : R 2 • On trouve
âf
-ex
âf
-eY
âx (x, y)= (ex+ eY)2 ; ây (x, y)= (ex+ eY) 2 ;
&2 f
e2x _ é+Y
&2 f
e2Y _ ex+y
âx2 (x, y)= (ex+ eY)3 ; ây2 (x, y)= (ex+ eY)3 ;
â 2 f
â 2 f
2ex+y
âxây (x, y)= âyâx (x, y)= (ex+ eY)3
"'
7. f(x, y) =el/.
Ensemble de dérivabilité : y# 0, on enlève l'axe des abscisses. On trouve
âf
1 ~
âf
-x ~
- 8 (x,y) = -eY ; - 8 (x,y) = - 2 eY ;
X
y
y
y
8 2 f
1 ~
8 2 f
2xy + x 2 ~
â 2 (x,y)= 2 eY; 82 (x,y)=
4
eY;
X
y
y
y
a 2 J
a 2 1
x +y ~
- â â (x,y) = - â â (x,y) = --3-eY.
X y
y X
y