3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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« favorable » sur une figure (on hachure ce qui ne convient pas).
1·
2·
\,.
On trouve
âf
1
1
âf
1
1
âx (x, y)= 2y - 2(x +y) ; ây (x, y)= 2x - 2(x +y) ;
a 2 1
1
1
a 2 1
1
1
âx2 (x, y) = 2(x + y)2 - 2x2 ; ây2 (x, y) = 2(x + y)2 2y2 '
a 2 1
a 2 1
1
âxây (x, y)= âyâx = 2(x + y) 2
2. f(x, y) = ln(x 2 +y).
Ensemble de dérivabilité : x 2 + y doit être strictement positif, ce qui correspond à
y> -x 2 . La zone favorable est donc la partie du plan au-dessus de la parabole
y = -x 2 . On trouve
âf
2x
âf
1
âx(x,y)=x2 +y; ây(x,y)=x2 +y;
8 2 f
2y - 2x 2
8 2 f
-1
âx2 (x, y) = (x2 + y)2 ; ây2 (x, y) = (x2 + y)2 ;
â 2 f
â 2 f
-2x
- ( x y) - - ( x y) - ----=--,.....,,.
âxây ' - âyâx ' - (x2 + y)2
3. f(x,y) = J2xy+y2.
Ensemble de dérivabilité : u = 2xy + y 2 = y(2x +y) doit être strictement positif,
donc deux des quatre zones délimitées par les deux droites y = 0 et y = -2x
conviennent. Le point (1, 1) convient, ce qui permet de placer correctement les
hachures sur ce qui ne convient pas. On trouve
M
Y
M
x+y
âx(x,y) = }2xy+y2; ây(x,y) = }2xy+y2 ;
a2 f
-y2
a2 f
-x2
âx2(x,y) = (2xy+y2)!
ây2(x,y) = (2xy+y2)!
&J
&J
~
--(x, y)= --(x, y)=
s
âxây
âyâx
(2xy + y2)2