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SOLUTIONS DES EXERCICES
Finalement, on a établi que pour (x, y) E P1, c'est-à-dire tels que x +y> 0, on a
f ( x, y) = arctan x + arctan y
(pour (x, y) E P1).
Si P2 est l'autre demi-plan limité par /::,,. (caractérise par x +y < 0), en raisonnant
exactement de la même façon, on obtient sans peine que
f(x, y)= -(arctanx +arctan y)
(pour (x, y) E P2).
Comme il est clair que (arctan x + arctan y) a le même signe que ( x + y), on peut
écrire plus brièvement que
f(x, y)= 1 arctanx + arctanyl.
Cette formule permet maintenant de répondre facilement à la question que nous
avions laissée en suspens : f est-elle partiellement dérivable sur /::,,. ?
La réponse est non. En effet, si (xo, Yo) E !::,,., on a Yo = -xo, et la première
fonction partielle de f en (xo, Yo) est la fonction g définie par
{ g(x) = arctanx - arctanxo pour x ~ xo,
g(x) = - arctanx + arctanxo pour x ~ xo.
La dérivée à droite de g en xo est donc g~(xo) = - 1
1
2 alors que la dérivée à
+xo
1
gauche de g en xo est g~(xo) = - - 1 - - 2 ·
+xo
Comme la dérivée à droite et la dérivée à gauche de g en x0 n'ont pas la même
valeur, c'est que g n'est pas dérivable en xo, et par conséquent, par définition, f
n'est pas dérivable partiellement par rapport à x en (xo, Yo).
Le même raisonnement montre que f n'est pas non plus dérivable partiellement
par rapport à y en ce même point.
Exercice 3. 7.
1. f(x, y)= ln !!fi·
Ensemble de dérivabilité : u = __!!.}!___ doit exister et être strictement positif :
x+y
le point (x, y) doit donc se trouver dans 3 des 6 zones délimitées par les trois
droites x = 0 (axe des ordonnées), y= 0 (axe des abscisses) et y= -x (deuxième
bissectrice du repère). À chaque franchissement de droite, le signe de u change,
et dans le premier quadrant on a u > 0, ce qui permet de représenter la zone