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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS ]Rn
Ces constantes ne peuvent être améliorées car pour chacune de ces inégalités, on
peut trouver un X pour lequel on a l'égalité.
Exercice 1.5.
1. Soit N la norme définie sur JR 3 par
N(X) = Jx~ + x~ + lx3I·
N est-elle une norme? Si oui montrer qu'elle est équivalente à une des
normes usuelles.
2. Mêmes questions avec N définie par
3. Mêmes questions avec N définie par
Exercice 1.6.
Montrer la deuxième inégalité triangulaire pour les distances (propriété (d3)' p.8)
Dans un espace métrique E,
(d3) 1
\lx, y, z E E ld(x, y) - d(y, z)I :::;; d(x, z).
Exercice 1. 7.
Montrer le résultat sur les boules de la norme somme suggéré par la figure (1.3)
de la p.12 (on pourra dans un premier temps se contenter d'établir le résultat
dans le cas où (xo, Yo) = (0, 0) et r = 1).
Exercice 1.8.
Pour X= (x,y) E JR 2 , on pose
N(X) = N(x,y) = Jx2 +xy+y2.
1. Montrer que N est une norme sur JR 2 .
2. Montrer que N et Il · 112 sont des normes équivalentes.
3. Représenter graphique~ent la boule fermée Ê(O, 1) de centre 0(0, 0), de
rayon 1, pour la norme N ;
(on a posé, naturellement, Ê(O, 1) = {x = (x, y) E JR 2 ,N(X) :::;; 1 }.)
Représenter sur le même dessin les deux boules fermées B2(0, 1/a) et
B2(0, 1/ (3).
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