1. 7 EXERCICES
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une suite (UP) d'éléments de P convergeant vers Y : c'est de prendre une suite
stationnaire, telle que à partir d'un rang Po, on a UP =Y. Mais une telle suite
n'est pas formée d'éléments de P \ {Y}.
Un point d'accumulation X est tel que toute boule centrée en X contient d'autres
points que X appartenant à P. Les terminologies « point d'accumulation » et
« point isolé » sont assez imagées pour aider à comprendre ces notions.
1.6.5 Compacité
Sans démonstration, une propriété très importante de ~n
Théorème 1.40 Les parties fermées bornées de ~n sont les compacts de ~n.
Cela signifie que si JC est une partie fermée bornée de ~n, alors de toute suite
(UP) d'éléments de JC, on peut extraire une sous-suite convergente vers LE JC,
et réciproquement, si une partie P a la propriété que de toute suite d'éléments
de P, il est possible d'extraire une sous-suite convergente vers un élément de P,
alors P est une partie fermée et bornée de ~n.
1. 7 Exercices
Exercice 1.1.
Expliciter la démonstration de la formule
IN(X) - N(Y)I ~ N(X - Y)
(voir proposition 1.3 p.4).
Exercice 1.2.
Montrer que Ni est une norme.
Exercice 1.3.
Montrer que l'équivalence entre normes est une relation d'équivalence dans l'ensemble des normes définies sur un espace vectoriel E.
Exercice 1.4.
Montrer le Théorème 1.9 (p.7), qui affirme que :
Les normes Ni, N2 et N00 sont équivalentes.
On a pour tout X= (xi, ... ,xn) E ~n,
N00 (X) ~ N2(X) ~ Ni(X) ~ n N00 (X) ;
Noo(X) ~ N2(X) ~ Vn Noo(X) ;
N2(X) ~ Ni(X) ~ Vn N2(X) ;
N00 (X) ~ Ni(X) ~ n N00 (X).