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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS ]Rn
U qui soit incluse dans P.
Ici aussi, quelques propriétés sans démonstration.
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Proposition 1.36 • Pc P
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• P est un ouvert.
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• P est ouvert {::::::::} P= P
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• Pest le plus grand ouvert de ~n qui est inclus dans P.
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• Si B = B(Xo, r), alors B= B(Xo, r)
1.6.3 Frontière
Définition 1.37 Soit P une partie de ~n. On appelle frontière de P, on note
Fr(P) l'ensemble des points de ~n qui sont adhérents de P sans être à l'intérieur
de P.
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Fr(P) = P\ P
Proposition 1.38 La frontière d'une boule fermée ou ouverte de centre Xo, de
rayon r est formée de l'ensemble des points qui sont exactement à la distancer
de Xo.
Si la norme utilisée est la norme euclidienne, si on est dans ~ 2 , cette frontière est
le cercle de centre Xo et de rayon r (si on est dans ~ 3 , c'est la sphère).
Ce qu'il suffit de retenir, à notre niveau, c'est que la notion intuitive qu'on peut
avoir de la frontière d'un domaine du plan ou de l'espace correspond pour tous
les domaines usuels, pas trop compliqués, à la frontière au sens mathématique.
1.6.4 Point d'accumulation
Cette notion est très importante en vue des calculs de limites. En effet, on ne peut
calculer une limite de fonction qu'en des points d'accumulation de l'ensemble de
définition de cette fonction, comme nous le verrons au chapitre III.
Définition 1.39 Soit P une partie de ~n. Un élément U de ~n est dit point
d'accumulation de P lorsqu'il existe une suite d'éléments de P \ {U} qui converge
vers L.
On peut remarquer que la définition d'un point d'accumulation ressemble beaucoup
à celle d'un point adhérent. Un point d'accumulation est d'ailleurs un point
adhérent, la réciproque étant fausse. En effet il y a des points adhérents qui ne
sont pas point d'accumulation : ce sont les points isolés.
Un point isolé Y de Pest un point tel qu'il existe une boule B(Y, .s) ne contenant
pas d'autre point appartenant à P à part Y. Il y a une seule façon de construire