1.6 VOCABULAIRE DE TOPOLOGIE
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Pour montrer que Fest fermé, nous allons supposer que ce n'est pas le cas : son
complémentaire 0 est donc supposé non ouvert. Il existe donc un point L de 0
tel que on ne peut pas trouver un r > 0 avec B ( L, r) c 0.
Pour tout ê > 0, puisque B(L,E) et 0 (sinon on aurait B(L,E) c 0), il existe
donc un X tel que JIX - LJI ~ ê mais X pour chaque p EN, en considérant ê = __!_,on peut trouver un XP E F tel que
2P
llXP-LJI ~ 2~·
On construit ainsi une suite (XP) d'éléments de F. Montrons qu'elle converge
1
vers L : pour tout ê > 0, il existe Po tel que p ;:::: Po implique 0 < - ~ ê (ceci
2P
.
1
.
1
parce que hm - = 0+). On a donc, pmsque llXP - Lli ~ -, JIXP - Lli ~ ê.
~~~
~
La suite (XP) dont tous les termes sont dans F converge donc vers un vecteur
L qui n'est pas dans F: c'est contradictoire avec l'hypothèse, donc l'hypothèse
supplémentaire F n'est pas fermé est absurde et on a établi que Fest fermé. 0
1.6 Vocabulaire de topologie
Voici quelques notions qu'il est bon de comprendre, mais sur lesquelles nous ne
nous attarderons pas.
En première lecture, cette partie peut être sautée : elle peut servir de référence en
cas de besoin.
1.6.1 Adhérence
Définition 1.33 Soit P une partie de ~n. Un élément L de ~n est dit adhérent
de P lorsqu'il existe une suite d'éléments de P qui converge vers L.
L'ensemble des points adhérents de Pest appelée l'adhérence ou la fermeture de
Pet se note P
Voici quelques propriétés concernant l'adhérence d'une partie dont nous ne donnons
pas la démonstration.
Proposition 1.34 • PC P
• P est un fermé.
• P est fermé {::::::::} P = P
• P est le plus petit fermé de ~n qui contient P.
• Si B = B(Xo, r), alors B = B(Xo, r)
1.6.2 Intérieur
Définition 1.35 Soit P une partie de ~n. On appelle intérieur de P, et on note
0
P l'ensemble des points U de P pour lesquels il existe une boule ouverte de centre
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Pour montrer que Fest fermé, nous allons supposer que ce n'est pas le cas : son
complémentaire 0 est donc supposé non ouvert. Il existe donc un point L de 0
tel que on ne peut pas trouver un r > 0 avec B ( L, r) c 0.
Pour tout ê > 0, puisque B(L,E) et 0 (sinon on aurait B(L,E) c 0), il existe
donc un X tel que JIX - LJI ~ ê mais X pour chaque p EN, en considérant ê = __!_,on peut trouver un XP E F tel que
2P
llXP-LJI ~ 2~·
On construit ainsi une suite (XP) d'éléments de F. Montrons qu'elle converge
1
vers L : pour tout ê > 0, il existe Po tel que p ;:::: Po implique 0 < - ~ ê (ceci
2P
.
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parce que hm - = 0+). On a donc, pmsque llXP - Lli ~ -, JIXP - Lli ~ ê.
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La suite (XP) dont tous les termes sont dans F converge donc vers un vecteur
L qui n'est pas dans F: c'est contradictoire avec l'hypothèse, donc l'hypothèse
supplémentaire F n'est pas fermé est absurde et on a établi que Fest fermé. 0
1.6 Vocabulaire de topologie
Voici quelques notions qu'il est bon de comprendre, mais sur lesquelles nous ne
nous attarderons pas.
En première lecture, cette partie peut être sautée : elle peut servir de référence en
cas de besoin.
1.6.1 Adhérence
Définition 1.33 Soit P une partie de ~n. Un élément L de ~n est dit adhérent
de P lorsqu'il existe une suite d'éléments de P qui converge vers L.
L'ensemble des points adhérents de Pest appelée l'adhérence ou la fermeture de
Pet se note P
Voici quelques propriétés concernant l'adhérence d'une partie dont nous ne donnons
pas la démonstration.
Proposition 1.34 • PC P
• P est un fermé.
• P est fermé {::::::::} P = P
• P est le plus petit fermé de ~n qui contient P.
• Si B = B(Xo, r), alors B = B(Xo, r)
1.6.2 Intérieur
Définition 1.35 Soit P une partie de ~n. On appelle intérieur de P, et on note
0
P l'ensemble des points U de P pour lesquels il existe une boule ouverte de centre