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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS rntn
Preuve Notons tout d'abord que la suite (up) est forcément à termes positifs,
au moins à partir du rang Pl·
On a Ve> 0, 3p2 EN tel que si p ~ po, on a lupl : : : : ; E:. (On a simplement traduit
la convergence de la suite réelle (up) vers 0).
Soit Po= max{pi,p2};
On peut dire qu'il existe Po EN tel que si p ~Po,
On a d'une part, p ~pi, donc llXP - Lll : : : : ; up et donc forcément 0::::; up = lupl,
et d'autre part on a p ~ P2, donc up = lupl : : : : ; E:.
Mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient
llXP - Lli::::; é.
D
1.5.5 Suites et fermés
Nous allons maintenant revenir sur la notion d'ensemble fermé et établir une
caractérisation «positive» de ces ensembles. Les raisonnements qui vont suivre
sont valables dans tout espace métrique.
Théorème 1.32 Soit F une partie non vide de ]Rn. Alors F est fermée si et
seulement si pour toute suite convergente (UP) d'éléments de F, la limite L de
cette suite est un élément de F.
La démonstration de ce théorème use et abuse du raisonnement par l'absurde.
Elle peut être sautée en première lecture.
Supposons d'abord que F soit fermé.
Soit (UP) une suite convergente d'éléments de F. Soit L = lim UP. Pour montrer
p-++oo
que LE F, on va supposer le contraire, c'est-à-dire que L arrive à un contradiction.
Soit () le complémentaire de F. Puisque F est fermé, () est par définition un
ouvert. On a donc supposé que LE CJ. Puisque ()est un ouvert, et que LE CJ, il
existe une boule fermée de centre L, de rayon E: qui est incluse dans CJ. Pour cet E:,
puisque L = lim UP, alors on peut affirmer qu'il existe Po tel que pour p ~Po,
p-++oo
on a llUP - Lll : : : : ; E:, donc entre autres UP 0 E B(L,E:) c CJ. On a donc trouvé un
terme UP 0 de la suite (UP) qui appartient à () : ça veut dire qu'il n'appartient
pas à F, mais c'est absurde puisque cette suite a tous ses termes dans F. Notre
hypothèse L forcément L E F
Réciproquement :
Supposons maintenant que toutes les suites convergentes d'éléments de Font leur
limite appartenant à F.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS rntn
Preuve Notons tout d'abord que la suite (up) est forcément à termes positifs,
au moins à partir du rang Pl·
On a Ve> 0, 3p2 EN tel que si p ~ po, on a lupl : : : : ; E:. (On a simplement traduit
la convergence de la suite réelle (up) vers 0).
Soit Po= max{pi,p2};
On peut dire qu'il existe Po EN tel que si p ~Po,
On a d'une part, p ~pi, donc llXP - Lll : : : : ; up et donc forcément 0::::; up = lupl,
et d'autre part on a p ~ P2, donc up = lupl : : : : ; E:.
Mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient
llXP - Lli::::; é.
D
1.5.5 Suites et fermés
Nous allons maintenant revenir sur la notion d'ensemble fermé et établir une
caractérisation «positive» de ces ensembles. Les raisonnements qui vont suivre
sont valables dans tout espace métrique.
Théorème 1.32 Soit F une partie non vide de ]Rn. Alors F est fermée si et
seulement si pour toute suite convergente (UP) d'éléments de F, la limite L de
cette suite est un élément de F.
La démonstration de ce théorème use et abuse du raisonnement par l'absurde.
Elle peut être sautée en première lecture.
Supposons d'abord que F soit fermé.
Soit (UP) une suite convergente d'éléments de F. Soit L = lim UP. Pour montrer
p-++oo
que LE F, on va supposer le contraire, c'est-à-dire que L arrive à un contradiction.
Soit () le complémentaire de F. Puisque F est fermé, () est par définition un
ouvert. On a donc supposé que LE CJ. Puisque ()est un ouvert, et que LE CJ, il
existe une boule fermée de centre L, de rayon E: qui est incluse dans CJ. Pour cet E:,
puisque L = lim UP, alors on peut affirmer qu'il existe Po tel que pour p ~Po,
p-++oo
on a llUP - Lll : : : : ; E:, donc entre autres UP 0 E B(L,E:) c CJ. On a donc trouvé un
terme UP 0 de la suite (UP) qui appartient à () : ça veut dire qu'il n'appartient
pas à F, mais c'est absurde puisque cette suite a tous ses termes dans F. Notre
hypothèse L forcément L E F
Réciproquement :
Supposons maintenant que toutes les suites convergentes d'éléments de Font leur
limite appartenant à F.