1.5 SUITES DE nr
21
On a donc pour tout j entre 1 et n: lu~ - Rjl ~ E:.
On peut donc affirmer que le plus grand de ces n nombres lu~ - Rjl = lvil est lui
aussi majoré par E:: on a m!'lJC lvil = llVlloo ~ E:. Mais le vecteur V de composantes
h(i.;;;n
(v1, v2, ... , vn) est justement égal à UP - Let on a donc llUP - Lll 00 ~ E:.
Ce qui est souligné prouve que (UP) converge vers L.
D
Exemple:
Dans E = JR 2 , considérons la suite de terme général :
XP - (-1- 2 -p)
-
p+l' e
On sait que les deux suites réelles ( xf )pEN et ( x~)pEN définies respectivement par :
{ xf = p!1
X~= 2e-P
convergent dans lR respectivement vers R1 = 0 et R2 =O. Donc la suite (XP)pEN
converge dans JR 2 vers L = (0, 0).
1.5.3 Opérations sur les suites convergentes
Grâce au théorème 1.28 (p.20), on démontre sans aucune difficulté, en passant
par les composantes, les propriétés suivantes.
Proposition 1.29 Si (UP) et (VP) sont deux suites de .!Rn convergentes, respectivement vers Let L', alors la suite (UP + VP) converge et sa limite est L + L'.
Proposition 1.30 Si (UP) est une suite de .!Rn convergente vers L et a un réel,
alors la suite ( aUP) est convergente et sa limite est aL.
Remarque : Il n'est pas possible de définir, comme on le faisait pour les suites
réelles des suites admettant une limite infinie : si une de ses suites composantes
d'une suite vectorielle admet une limite infinie, alors cette suite vectorielle n'a
pas de limite, et il est inutile de chercher davantage.
1.5.4 Convergence par majoration
Voici une proposition technique très intéressante.
Proposition 1.31 Si (XP)pEN est une suite de vecteurs de .!Rn et L E .!Rn; s'il
existe une suite réelle (up)pEN, convergente vers 0; si pour tout p à partir d'un
certain rang Pl, on a
Alors on a lim XP = L.
p-++oo
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On a donc pour tout j entre 1 et n: lu~ - Rjl ~ E:.
On peut donc affirmer que le plus grand de ces n nombres lu~ - Rjl = lvil est lui
aussi majoré par E:: on a m!'lJC lvil = llVlloo ~ E:. Mais le vecteur V de composantes
h(i.;;;n
(v1, v2, ... , vn) est justement égal à UP - Let on a donc llUP - Lll 00 ~ E:.
Ce qui est souligné prouve que (UP) converge vers L.
D
Exemple:
Dans E = JR 2 , considérons la suite de terme général :
XP - (-1- 2 -p)
-
p+l' e
On sait que les deux suites réelles ( xf )pEN et ( x~)pEN définies respectivement par :
{ xf = p!1
X~= 2e-P
convergent dans lR respectivement vers R1 = 0 et R2 =O. Donc la suite (XP)pEN
converge dans JR 2 vers L = (0, 0).
1.5.3 Opérations sur les suites convergentes
Grâce au théorème 1.28 (p.20), on démontre sans aucune difficulté, en passant
par les composantes, les propriétés suivantes.
Proposition 1.29 Si (UP) et (VP) sont deux suites de .!Rn convergentes, respectivement vers Let L', alors la suite (UP + VP) converge et sa limite est L + L'.
Proposition 1.30 Si (UP) est une suite de .!Rn convergente vers L et a un réel,
alors la suite ( aUP) est convergente et sa limite est aL.
Remarque : Il n'est pas possible de définir, comme on le faisait pour les suites
réelles des suites admettant une limite infinie : si une de ses suites composantes
d'une suite vectorielle admet une limite infinie, alors cette suite vectorielle n'a
pas de limite, et il est inutile de chercher davantage.
1.5.4 Convergence par majoration
Voici une proposition technique très intéressante.
Proposition 1.31 Si (XP)pEN est une suite de vecteurs de .!Rn et L E .!Rn; s'il
existe une suite réelle (up)pEN, convergente vers 0; si pour tout p à partir d'un
certain rang Pl, on a
Alors on a lim XP = L.
p-++oo