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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
de B, d'après l'hypothèse, il existe Po tel que pour p ~ po, on ait UP E W. Mais
puisque W c B(L,c), on a UP E B(L,c) et donc llUP - Lll::::; c.
Ce qui est souligné ci-dessus correspond à l'affirmation que (UP) converge vers
L.
D
Une conséquence importante de cette propriété est que dans la définition, on peut
si on le souhaite, changer l'inégalité large dans llUP - Lll : : : : ; c par une inégalité
stricte Il UP - L Il < c : cela revient alors à considérer la base de voisinages de
L formée des boules ouvertes centrées en L. Personnellement, je préfère utiliser
quand je le peux des inégalités larges, car il y a en général moins de pièges avec
elles.
On peut aussi se restreindre aux c qui sont plus petits qu'un nombre M fixé à
l'avance, car l'ensemble des boules ouvertes (ou fermées) de centre Let dont le
rayon est plus petit que M est aussi une base de voisinage (vérification immédiate).
Nous arrivons maintenant à une propriété essentielle sur la convergence des suites
vectorielles en dimension finie :
Théorème 1.28 Soit (UP)pEN une suite de vecteurs de ~n et ( uf)pEN, ( u~)pEN, ... ,
(u~)pEN les suites des composantes de (UP). Alors la suite (UP) est convergente si
et seulement si les n suites composantes sont convergentes, et la limite L de la
suite (UP) a alors comme composantes (fi,f2, ... ,Pn), chaque fi étant la limite
de la suite numérique ( uf)pEN.
Ainsi dans ~n, la convergence d'une suite se ramène à celle des suites composantes;
il y en a autant que la dimension de l'espace.
Preuve Supposons tout d'abord que (UP) soit convergente vers L = (P1, f2, ... , Pn)·
Soit j un entier entre 1 et n. Pour tout c > 0, d'après l'hypothèse, il existe Po tel que
p ~Po implique que llUP - Llloo : : : : ; é.
(Notons le choix fait ici d'utiliser la norme du max parce que «ça nous arrange».)
Posant UP - L =V= (v1, v2, ... , vn), on a donc m~ lvil : : : : ; é.
l~i~n
En particulier, lvil : : : : ; m!=l-x lvil : : : : ; c. Or, la j-ième composante du vecteur V=
l~i~n
·
UP - L est égale à la différence de la j-ième composante de UP et de la j-ième
composante de L, donc vi = u~ - Pi.
On a donc lu~ - fil ::::; c et ce qui est souligné signifie justement que la suite
( u~)pEN converge vers Pi.
Réciproquement :
On suppose maintenant que chacune des n suites ( u~)pEN converge vers fi.
Soit c > 0 ; puisque chaque suite ( u~)pEN converge vers Pi, pour chaque j, il existe
Pi tel que p ~Pi implique que lu~ - fil ::::; c.
Il existe alors Po = m!=l-x Pi tel que si on a p ~ po, alors (puisque pour tout j,
-
l~J~n
Po ~ Pi) on a p ~ Pi.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
de B, d'après l'hypothèse, il existe Po tel que pour p ~ po, on ait UP E W. Mais
puisque W c B(L,c), on a UP E B(L,c) et donc llUP - Lll::::; c.
Ce qui est souligné ci-dessus correspond à l'affirmation que (UP) converge vers
L.
D
Une conséquence importante de cette propriété est que dans la définition, on peut
si on le souhaite, changer l'inégalité large dans llUP - Lll : : : : ; c par une inégalité
stricte Il UP - L Il < c : cela revient alors à considérer la base de voisinages de
L formée des boules ouvertes centrées en L. Personnellement, je préfère utiliser
quand je le peux des inégalités larges, car il y a en général moins de pièges avec
elles.
On peut aussi se restreindre aux c qui sont plus petits qu'un nombre M fixé à
l'avance, car l'ensemble des boules ouvertes (ou fermées) de centre Let dont le
rayon est plus petit que M est aussi une base de voisinage (vérification immédiate).
Nous arrivons maintenant à une propriété essentielle sur la convergence des suites
vectorielles en dimension finie :
Théorème 1.28 Soit (UP)pEN une suite de vecteurs de ~n et ( uf)pEN, ( u~)pEN, ... ,
(u~)pEN les suites des composantes de (UP). Alors la suite (UP) est convergente si
et seulement si les n suites composantes sont convergentes, et la limite L de la
suite (UP) a alors comme composantes (fi,f2, ... ,Pn), chaque fi étant la limite
de la suite numérique ( uf)pEN.
Ainsi dans ~n, la convergence d'une suite se ramène à celle des suites composantes;
il y en a autant que la dimension de l'espace.
Preuve Supposons tout d'abord que (UP) soit convergente vers L = (P1, f2, ... , Pn)·
Soit j un entier entre 1 et n. Pour tout c > 0, d'après l'hypothèse, il existe Po tel que
p ~Po implique que llUP - Llloo : : : : ; é.
(Notons le choix fait ici d'utiliser la norme du max parce que «ça nous arrange».)
Posant UP - L =V= (v1, v2, ... , vn), on a donc m~ lvil : : : : ; é.
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En particulier, lvil : : : : ; m!=l-x lvil : : : : ; c. Or, la j-ième composante du vecteur V=
l~i~n
·
UP - L est égale à la différence de la j-ième composante de UP et de la j-ième
composante de L, donc vi = u~ - Pi.
On a donc lu~ - fil ::::; c et ce qui est souligné signifie justement que la suite
( u~)pEN converge vers Pi.
Réciproquement :
On suppose maintenant que chacune des n suites ( u~)pEN converge vers fi.
Soit c > 0 ; puisque chaque suite ( u~)pEN converge vers Pi, pour chaque j, il existe
Pi tel que p ~Pi implique que lu~ - fil ::::; c.
Il existe alors Po = m!=l-x Pi tel que si on a p ~ po, alors (puisque pour tout j,
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Po ~ Pi) on a p ~ Pi.