1.5 SUITES DE Jr
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Soit ê > 0; pour ê 1 = ~ 2 > 0, d'après l'hypothèse de convergence vers Lau sens
de Nj, il existe Po tel que \::/p ~Po on a llUP - Liii :::;; ê 1 • Mais ~ 2 llUP - Lllk :::;;
llUP - Liii, donc on a donc pour ces p, llUP - Lllk:::;; C2ê' = ~
Ce qui est souligné dans le texte ci-dessus assure la convergence vers L au sens de
~D
D'après cette proposition, la convergence d'une suite vectorielle ne dépend plus de
la norme considérée, et dans la suite, on utilisera au choix n'importe quelle norme,
sans forcément préciser laquelle. En pratique, c'est plutôt la norme euclidienne
que l'on comprend, mais dans certains cas la norme du max est bien pratique.
Notons une propriété analogue à la précédente, qui peut servir à une autre
définition de la convergence d'une suite :
Proposition 1.27 Une suite (UP) de vecteurs de ]Rn est convergente vers L si et
seulement si pour tout voisinage V d'une base de voisinages de L, il existe Po tel
que pour p ~ po, on a UP EV
Preuve Notons tout d'abord que la définition 1.24 (p.17) peut être paraphrasée
en utilisant les termes de cet énoncé, puisque à chaque ê > 0 correspond un
élément Ve: = B(L, ê) de la base de voisinages de L formée des boules fermées
de centre L, et que X E B(L, ê) {::::::::} llX - Lll :::;; ê. Quand on lit dans la
définition Vê > 0, on peut aussi bien comprendre « Pour tout élément B(L, ê) de
la base de voisinages de L formée des boules fermées de centre L » ; le dernier
morceau de la phrase de la définition « llUP -Lll :::;; ê »se comprend alors comme:
(( UP E B(L, ê) ».
Soit B une autre base de voisinages de L.
Supposons tout d'abord que (UP) converge vers L.
Soit W un voisinage de L appartenant à la base de voisinages B. Puisque c'est un
voisinage de L, il contient une boule centrée en L que l'on notera B(L, r).
Pour ê = ~, il existe Po tel que pour p ~ Po, on a
-
-
r
UP E B(L,ê) = B(L, "2) c B(L,r) c W.
On a établi le sens nécessaire de cette propriété.
Réciproquement : Supposons que pour tout W E B, on puisse trouver un Po tel
que pour p ~Po on ait UP E W.
Soit ê >O. La boule fermée B(L, ê) est un voisinage de L. Or, B étant une base
de voisinages de Let B(L, ê) un voisinage de L, on peut trouver un voisinage W
de L qui soit un élément de B et qui soit inclus dans B(L, ê). Pour cet élément W
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Soit ê > 0; pour ê 1 = ~ 2 > 0, d'après l'hypothèse de convergence vers Lau sens
de Nj, il existe Po tel que \::/p ~Po on a llUP - Liii :::;; ê 1 • Mais ~ 2 llUP - Lllk :::;;
llUP - Liii, donc on a donc pour ces p, llUP - Lllk:::;; C2ê' = ~
Ce qui est souligné dans le texte ci-dessus assure la convergence vers L au sens de
~D
D'après cette proposition, la convergence d'une suite vectorielle ne dépend plus de
la norme considérée, et dans la suite, on utilisera au choix n'importe quelle norme,
sans forcément préciser laquelle. En pratique, c'est plutôt la norme euclidienne
que l'on comprend, mais dans certains cas la norme du max est bien pratique.
Notons une propriété analogue à la précédente, qui peut servir à une autre
définition de la convergence d'une suite :
Proposition 1.27 Une suite (UP) de vecteurs de ]Rn est convergente vers L si et
seulement si pour tout voisinage V d'une base de voisinages de L, il existe Po tel
que pour p ~ po, on a UP EV
Preuve Notons tout d'abord que la définition 1.24 (p.17) peut être paraphrasée
en utilisant les termes de cet énoncé, puisque à chaque ê > 0 correspond un
élément Ve: = B(L, ê) de la base de voisinages de L formée des boules fermées
de centre L, et que X E B(L, ê) {::::::::} llX - Lll :::;; ê. Quand on lit dans la
définition Vê > 0, on peut aussi bien comprendre « Pour tout élément B(L, ê) de
la base de voisinages de L formée des boules fermées de centre L » ; le dernier
morceau de la phrase de la définition « llUP -Lll :::;; ê »se comprend alors comme:
(( UP E B(L, ê) ».
Soit B une autre base de voisinages de L.
Supposons tout d'abord que (UP) converge vers L.
Soit W un voisinage de L appartenant à la base de voisinages B. Puisque c'est un
voisinage de L, il contient une boule centrée en L que l'on notera B(L, r).
Pour ê = ~, il existe Po tel que pour p ~ Po, on a
-
-
r
UP E B(L,ê) = B(L, "2) c B(L,r) c W.
On a établi le sens nécessaire de cette propriété.
Réciproquement : Supposons que pour tout W E B, on puisse trouver un Po tel
que pour p ~Po on ait UP E W.
Soit ê >O. La boule fermée B(L, ê) est un voisinage de L. Or, B étant une base
de voisinages de Let B(L, ê) un voisinage de L, on peut trouver un voisinage W
de L qui soit un élément de B et qui soit inclus dans B(L, ê). Pour cet élément W