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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS Rn
Preuve Supposons que la suite (UP) converge à la fois vers L et aussi vers L'.
On va faire un raisonnement par l'absurde: supposons que L # L'. Dans ce cas,
l , l
llL - L'llk
.
. r
e ree ê =
3
est strictement pos1t1 , et pour cet ê,
d'une part puisque (UP) converge vers L, 3pI tel que sip ~PI, alors llUP-Lllk ~ ê.
d'autre part puisque (UP) converge vers L', :lp2 tel que sip ~ p2, alors llUP-L'llk ~
ê.
(Il ne faut surtout pas prendre le même Po dans les deux cas)
Soit Po un entier qui soit à la fois plus grand que PI et plus grand que P2 (il suffit
de prendre Po= max(pI,P2))
Puisqu'on a à la fois Po ~PI et Po ~ p2, on peut affirmer qu'on a
Mais en utilisant l'inégalité triangulaire, on a
C'est absurde qu'on trouve 3ê ~ 2ê avec ê > O. L'hypothèse que l'on a faite L # L'
n'est donc pas correcte et on a L = L'.
D
Remarque: C'est ce théorème qui assure la cohérence de la notation lim UP =
p-++oo
L : le signe = ne devait pas, jusque là être compris comme l'égalité habituelle,
mais seulement comme une convention. Maintenant, il n'y a plus de problème,
et si on a simultanément lim UP = L et lim UP = L', on peut sans scrupule
p-++oo
p-++oo
affirmer que L = L' (transitivité de l'égalité).
La définition de la convergence utilise une certaine norme Nk, et on devrait donc
parler de convergence au sens de Nk; ce n'est pas pratique, mais nous allons lever
cette difficulté grâce à la proposition suivante :
Proposition 1.26 Si Nj et Nk sont deux normes équivalentes sur ]Rn, alors la
convergence d'une suite vers L au sens de Ni est équivalente à la convergence de
cette suite vers L au sens de Nk.
Preuve Remarquons tout d'abord qu'il suffit d'établir l'implication dans un
sens pour en déduire l'équivalence, puisque j et k jouent un rôle symétrique, la
réciproque s'établira en échangeant les rôles.
Montrons que si (UP) converge vers Lau sens de Nj, alors elle converge vers L
au sens de Nk.
Soit (UP) une suite convergente vers L au sens de Nj.
Puisque ces deux normes sont équivalentes, on sait qu'il existe deux constantes
strictement positives CI et C2 telles que pour tout X E ]Rn, on a
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS Rn
Preuve Supposons que la suite (UP) converge à la fois vers L et aussi vers L'.
On va faire un raisonnement par l'absurde: supposons que L # L'. Dans ce cas,
l , l
llL - L'llk
.
. r
e ree ê =
3
est strictement pos1t1 , et pour cet ê,
d'une part puisque (UP) converge vers L, 3pI tel que sip ~PI, alors llUP-Lllk ~ ê.
d'autre part puisque (UP) converge vers L', :lp2 tel que sip ~ p2, alors llUP-L'llk ~
ê.
(Il ne faut surtout pas prendre le même Po dans les deux cas)
Soit Po un entier qui soit à la fois plus grand que PI et plus grand que P2 (il suffit
de prendre Po= max(pI,P2))
Puisqu'on a à la fois Po ~PI et Po ~ p2, on peut affirmer qu'on a
Mais en utilisant l'inégalité triangulaire, on a
C'est absurde qu'on trouve 3ê ~ 2ê avec ê > O. L'hypothèse que l'on a faite L # L'
n'est donc pas correcte et on a L = L'.
D
Remarque: C'est ce théorème qui assure la cohérence de la notation lim UP =
p-++oo
L : le signe = ne devait pas, jusque là être compris comme l'égalité habituelle,
mais seulement comme une convention. Maintenant, il n'y a plus de problème,
et si on a simultanément lim UP = L et lim UP = L', on peut sans scrupule
p-++oo
p-++oo
affirmer que L = L' (transitivité de l'égalité).
La définition de la convergence utilise une certaine norme Nk, et on devrait donc
parler de convergence au sens de Nk; ce n'est pas pratique, mais nous allons lever
cette difficulté grâce à la proposition suivante :
Proposition 1.26 Si Nj et Nk sont deux normes équivalentes sur ]Rn, alors la
convergence d'une suite vers L au sens de Ni est équivalente à la convergence de
cette suite vers L au sens de Nk.
Preuve Remarquons tout d'abord qu'il suffit d'établir l'implication dans un
sens pour en déduire l'équivalence, puisque j et k jouent un rôle symétrique, la
réciproque s'établira en échangeant les rôles.
Montrons que si (UP) converge vers Lau sens de Nj, alors elle converge vers L
au sens de Nk.
Soit (UP) une suite convergente vers L au sens de Nj.
Puisque ces deux normes sont équivalentes, on sait qu'il existe deux constantes
strictement positives CI et C2 telles que pour tout X E ]Rn, on a