1.5 SUITES DE !Rn
17
1.5 Suites de ~n
1.5.l Présentation des suites de vecteurs
Mathématiquement, une suite de vecteurs de ]Rn est une application de N dans
]Rn; comme pour les suites, la notation est spécifique : on note (Up)pEN [ou plus
simplement (Up)] une telle suite, étant entendu que Up désigne le p-ième terme de
la suite (image de p) et que c'est un élément de JRn. Up a donc n composantes qui
dépendent de p. On a donc besoin d'une double indexation: lai-ème composante
de Up sera notée Uip·
En général, quand il n'y a pas d'ambiguïté avec les exposants, on préfère envoyer
en haut un des indices : on note alors la suite (UP)pEN [ou (UP)], avec UP =
(u}, u~, ... , u~).
évidemment, dans certains cas il peut être intéressant de noter en colonne les
élémenIB de a• : dans ce cas on aura UP = ( !l
Remarquons que la lettre n est «taboue» pour les indices tant qu'on travaille
dans JR!!.
Une suite de vecteurs (UP)pEN est entièrement déterminée par la donnée des n
suites réelles ( u})pEN, ( u~)pEN, ... , ( u~)pEN, car la connaissance de ces n suites
réelles assure la connaissance de la suite vectorielle et réciproquement. Les n suites
( uf)pEN sont les suites des composantes de (UP)pEN.
1.5.2 Convergence de suites de ]Rn
Grâce à la notion de norme, qui permet de mesurer la notion de proximité dans
]Rn, nous pouvons maintenant, comme dans lR définir rigoureusement la notion de
convergence d'une suite de vecteurs de JRn.
Définition 1.24 Soit (UP)pEN une suite d'éléments de JRn. On dit que la suite
(UP) converge vers l'élément L de ]Rn lorsque
Ve > 0, 3po E N, tel que \:/p ~Po on a llUP - Lllk :::;; c
On dit alors que Lest la limite de la suite (UP) et on note lim UP = L
p-++oo
Dans cette définition, L désigne un vecteur de ]Rn, et comme d'habitude Il · llk
désigne une des trois normes usuelles de ]Rn.
Avant de continuer, il est essentiel de préciser un point :
Théorème 1.25 (Unicité de la limite) La limite d'une suite, si elle existe,
est unique.
17
1.5 Suites de ~n
1.5.l Présentation des suites de vecteurs
Mathématiquement, une suite de vecteurs de ]Rn est une application de N dans
]Rn; comme pour les suites, la notation est spécifique : on note (Up)pEN [ou plus
simplement (Up)] une telle suite, étant entendu que Up désigne le p-ième terme de
la suite (image de p) et que c'est un élément de JRn. Up a donc n composantes qui
dépendent de p. On a donc besoin d'une double indexation: lai-ème composante
de Up sera notée Uip·
En général, quand il n'y a pas d'ambiguïté avec les exposants, on préfère envoyer
en haut un des indices : on note alors la suite (UP)pEN [ou (UP)], avec UP =
(u}, u~, ... , u~).
évidemment, dans certains cas il peut être intéressant de noter en colonne les
élémenIB de a• : dans ce cas on aura UP = ( !l
Remarquons que la lettre n est «taboue» pour les indices tant qu'on travaille
dans JR!!.
Une suite de vecteurs (UP)pEN est entièrement déterminée par la donnée des n
suites réelles ( u})pEN, ( u~)pEN, ... , ( u~)pEN, car la connaissance de ces n suites
réelles assure la connaissance de la suite vectorielle et réciproquement. Les n suites
( uf)pEN sont les suites des composantes de (UP)pEN.
1.5.2 Convergence de suites de ]Rn
Grâce à la notion de norme, qui permet de mesurer la notion de proximité dans
]Rn, nous pouvons maintenant, comme dans lR définir rigoureusement la notion de
convergence d'une suite de vecteurs de JRn.
Définition 1.24 Soit (UP)pEN une suite d'éléments de JRn. On dit que la suite
(UP) converge vers l'élément L de ]Rn lorsque
Ve > 0, 3po E N, tel que \:/p ~Po on a llUP - Lllk :::;; c
On dit alors que Lest la limite de la suite (UP) et on note lim UP = L
p-++oo
Dans cette définition, L désigne un vecteur de ]Rn, et comme d'habitude Il · llk
désigne une des trois normes usuelles de ]Rn.
Avant de continuer, il est essentiel de préciser un point :
Théorème 1.25 (Unicité de la limite) La limite d'une suite, si elle existe,
est unique.