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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS ]Rn
Grâce à la remarque 1.4.1 (p.12), cette notion ne dépend pas de la norme utilisée.
Proposition 1.22 V est un voisinage de Xo si et seulement si il existe un
ensemble ouvert contenu dans V et qui contient Xo. En particulier tout ouvert
est voisinage de chacun de ses points. C'est même une autre caractérisation des
ouverts.
Preuve Si V est un voisinage de Xo, d'après la définition, il existe une boule
ouverte centrée en Xo, de rayon r, qui est incluse dans V et une boule ouverte est
un ouvert d'après la proposition 1.18 (p.14). Donc V contient un ouvert contenant
Xo.
Réciproquement : si E est une partie qui contient un ouvert 0 qui contient X 0 .
Puisque 0 est ouvert, et que Xo E 0, il existe une boule ouverte centrée en Xo et
incluse dans 0. Par transitivité de l'inclusion, cette boule est incluse dans E qui
est donc un voisinage de Xo.
Pour la deuxième partie de la proposition : il est évident que si X 0 est un point
d'un ouvert, cet ouvert contient un ouvert - lui-même - contenant Xo, donc
c'est un voisinage de Xo d'après le début de la proposition qu'on vient d'établir.
Réciproquement : Soit E un ensemble qui est voisinage de chacun de ses points.
Pour chacun de ses points X, il existe donc une boule que l'on peut prendre ouverte,
centrée en X et incluse dans E. C'est justement la définition d'un ensemble ouvert:
E est donc ouvert.
D
Un exemple très important de voisinages de Xo est fourni par les boules de centre
Xo, de rayon non nul.
En effet, elles contiennent toujours une boule ouverte (elle-même ou la boule
ouverte de même centre et de même rayon) contenant Xo.
Les voisinages d'un point sont extrêmement nombreux, puisque toute partie
contenant un voisinage de Xo devient ipso facto elle aussi un voisinage de X 0 .
Cette trop grande richesse peut être gênante, surtout lorsqu'on aura besoin de
propriétés utilisant « Pour tout voisinage de Xo ». . . Afin de remédier à cet
inconvénient, on utilisera la notion de bases de voisinages
Définition 1.23 On appelle base de voisinages de Xo un sous-ensemble B de
V(Xo) tel que pour tout VE V(Xo), il existe WEB tel que W c V.
Exemples
L'ensemble des boules ouvertes centrées en Xo est banalement une base de voisinage
de Xo.
L'ensemble des boules fermées (de rayon non nul) centrées en Xo est aussi une
base de voisinage de Xo.
Ceci quelle que soit la norme considérée.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS ]Rn
Grâce à la remarque 1.4.1 (p.12), cette notion ne dépend pas de la norme utilisée.
Proposition 1.22 V est un voisinage de Xo si et seulement si il existe un
ensemble ouvert contenu dans V et qui contient Xo. En particulier tout ouvert
est voisinage de chacun de ses points. C'est même une autre caractérisation des
ouverts.
Preuve Si V est un voisinage de Xo, d'après la définition, il existe une boule
ouverte centrée en Xo, de rayon r, qui est incluse dans V et une boule ouverte est
un ouvert d'après la proposition 1.18 (p.14). Donc V contient un ouvert contenant
Xo.
Réciproquement : si E est une partie qui contient un ouvert 0 qui contient X 0 .
Puisque 0 est ouvert, et que Xo E 0, il existe une boule ouverte centrée en Xo et
incluse dans 0. Par transitivité de l'inclusion, cette boule est incluse dans E qui
est donc un voisinage de Xo.
Pour la deuxième partie de la proposition : il est évident que si X 0 est un point
d'un ouvert, cet ouvert contient un ouvert - lui-même - contenant Xo, donc
c'est un voisinage de Xo d'après le début de la proposition qu'on vient d'établir.
Réciproquement : Soit E un ensemble qui est voisinage de chacun de ses points.
Pour chacun de ses points X, il existe donc une boule que l'on peut prendre ouverte,
centrée en X et incluse dans E. C'est justement la définition d'un ensemble ouvert:
E est donc ouvert.
D
Un exemple très important de voisinages de Xo est fourni par les boules de centre
Xo, de rayon non nul.
En effet, elles contiennent toujours une boule ouverte (elle-même ou la boule
ouverte de même centre et de même rayon) contenant Xo.
Les voisinages d'un point sont extrêmement nombreux, puisque toute partie
contenant un voisinage de Xo devient ipso facto elle aussi un voisinage de X 0 .
Cette trop grande richesse peut être gênante, surtout lorsqu'on aura besoin de
propriétés utilisant « Pour tout voisinage de Xo ». . . Afin de remédier à cet
inconvénient, on utilisera la notion de bases de voisinages
Définition 1.23 On appelle base de voisinages de Xo un sous-ensemble B de
V(Xo) tel que pour tout VE V(Xo), il existe WEB tel que W c V.
Exemples
L'ensemble des boules ouvertes centrées en Xo est banalement une base de voisinage
de Xo.
L'ensemble des boules fermées (de rayon non nul) centrées en Xo est aussi une
base de voisinage de Xo.
Ceci quelle que soit la norme considérée.