1.4 ÜUVERTS, FERMÉS, BORNÉS, VOISINAGES DANS Rn
15
1.4.4 Fermés de ~n
Définition 1.19 Une partie F de E est dite fermée si elle est le complémentaire
d'une partie ouverte.
Cette définition « en creux » est assez difficile à manier. Nous verrons un peu
plus loin un théorème important qui permet de définir les fermés de façon plus
positive.
Comme pour les ouverts, nous avons la proposition rassurante :
Proposition 1.20 Toute boule fermée est un ensemble fermé.
Preuve Comme pour la proposition 1.18 (p.14) on ne numérote pas la norme
utilisée.
Soit B = B(Xo,r) une boule fermée pour la norme N = Il· Il· Pour montrer
que c'est un ensemble fermé, on doit considérer le complémentaire C de B et
montrer que C est un ensemble ouvert. Soit XE C. Par définition, puisque X ô = d(X, Xo) > r. Posons rx = ô-r >O. Alors la boule B(X, rx) est incluse dans
C. En effet, soit Y E B(X, rx ), alors grâce à la deuxième inégalité triangulaire,
d(Y, Xo) ~ ld(Y, X) - d(X, Xo)I ~ d(X, Xo) - d(Y, X)= ô - d(Y, X).
(1.6)
Or, d(Y,X) < rx par définition (1.13) de la boule ouverte B(X,rx).
Donc -d(Y, X) > -rx et d(Y, Xo) > ô - rx = ô - (ô - r) = r.
On peut donc affirmer que Y centrée en X et incluse dans C, ceci quel que soit X dans C : c'est exactement ce
qui permet d'affirmer que C est bien un ouvert, donc Best un bien fermé.
0
1.4.5 Voisinages, bases de voisinages dans ~n
Définition 1.21 Pour Xo dans E, on appelle voisinage de Xo, toute partie de
~n qui contient une boule ouverte centrée en Xo.
On note V(Xo) l'ensemble de tous les voisinages de Xo.